Considere a função
Calcule
A função
é contínua em
? Resposta: 0 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função $ f(x, y) $ definida por partes e precisamos calcular o limite dela quando
se aproxima de
. Vamos usar conceitos de limites e continuidade de funções de duas variáveis para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde a função $ f(x, y) $ muda de definição. Ela é definida por:
Isso significa que, se o ponto
está dentro do círculo de raio 1, usamos a primeira expressão; se está no círculo ou fora, usamos 0.
Passo 3
O ponto para o qual estamos calculando o limite é
. Vamos ver qual é o valor de $ x^{2} + y^{2} $ nesse ponto:
Como $ x^{2} + y^{2} = 1 $, a função $ f(x, y) $ nesse ponto é 0.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite:
Sabemos que quando $ x^{2} + y^{2} = 1 $, o denominador $ x^{2} + y^{2} - 1 = 0 $. Precisamos analisar o comportamento da função próxima a esse ponto.
Passo 5
Para $ x^{2} + y^{2} < 1 $, temos:
Note que $ x^{2} + y^{2} - 1 $ é negativo nessa região, então o expoente é negativo e a expressão $ e{\frac{1}{x{2}+y^{2}-1}} $ tende a 0.
Passo 6
Para $ x^{2} + y^{2} \geq 1 $, $ f(x, y) = 0 $, então:
Em ambas as regiões, o limite tende a 0.
Passo 7
Como o limite da função $ \frac{f(x, y)}{x^{2} + y^{2} - 1} $ quando
é 0, concluímos que:
Resposta
0