Considere a função
f(x, y)=ccc e^1x^2+y^2-1 & se & x^2+y^2<1 0 & se & x^2+y^2 >= 1
Calcule
lim (x, y) (raiz2 / 2, raiz2 / 2) f(x, y)x^2+y^2-1
A função f é contínua em (raiz2 / 2, raiz2 / 2) ? Resposta: 0 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função $ f(x, y) $ definida por partes e precisamos calcular o limite dela quando f(x, y) se aproxima de (x, y). Vamos usar conceitos de limites e continuidade de funções de duas variáveis para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde a função $ f(x, y) $ muda de definição. Ela é definida por:
f(x, y)
Isso significa que, se o ponto f(x, y) = e^1x^2+y^2-1 & se x^2+y^2<1 0 & se x^2+y^2 >= 1 está dentro do círculo de raio 1, usamos a primeira expressão; se está no círculo ou fora, usamos 0.

Passo 3

O ponto para o qual estamos calculando o limite é (raiz2/2, raiz2/2). Vamos ver qual é o valor de $ x^{2} + y^{2} $ nesse ponto:
x^2 + y^2
Como $ x^{2} + y^{2} = 1 $, a função $ f(x, y) $ nesse ponto é 0.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite:
lim(x, y) to (raiz2/2, raiz2/2) f(x, y)x^2 + y^2 - 1
Sabemos que quando $ x^{2} + y^{2} = 1 $, o denominador $ x^{2} + y^{2} - 1 = 0 $. Precisamos analisar o comportamento da função próxima a esse ponto.

Passo 5

Para $ x^{2} + y^{2} < 1 $, temos:
x^2 + y^2 < 1
Note que $ x^{2} + y^{2} - 1 $ é negativo nessa região, então o expoente é negativo e a expressão $ e{\frac{1}{x{2}+y^{2}-1}} $ tende a 0.

Passo 6

Para $ x^{2} + y^{2} \geq 1 $, $ f(x, y) = 0 $, então:
x^2 + y^2 >= 1
Em ambas as regiões, o limite tende a 0.

Passo 7

Como o limite da função $ \frac{f(x, y)}{x^{2} + y^{2} - 1} $ quando f(x, y)x^2 + y^2 - 1 é 0, concluímos que:

Resposta

0

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