Seja B=((1,0),(0,1)) a base canônica de R^2 e C=((1,2),(1-1)) uma outra base ordenada de R^2.
a) Seja F a transformação linear sobre R^2, definida por F(x1, x2)=(-x2, x1). Ache a matriz da transformação linear em relação à base canônica, FB.
b) Ache a matriz de mudança de base B para C, IC B, e de mudança de base C para B, IB C.
c) Use as matrizes acima para determinar a matriz da transformação linear F em relação à base C, FC.
d) Se u é um vetor com coordenadas ( 1,0 ) em relação à base C, quais são as coordenadas de F(u) em relação à base C ?

Passo 1

O enunciado define a base canônica B=l((1,0),(0,1)r), a base
C=l((1,2),(1,-1)r) e a transformação linear
F(x1,x2) =(-x2,,x1)
Queremos:
a) a matriz de F em B, denotada FB;
b) as matrizes de mudança de base ICB (de B para C) e IBC (de C para B);
c) a matriz de F em C, FC;
d) se u tem coordenadas l(1,0r) em C, achar as coordenadas de F(u) em C.

Passo 2

Para achar FB usamos as imagens de e1=(1,0) e e2=(0,1):
F(e1)=F(1,0)=(0,1), F(e2)=F(0,1)=(-1,0)
Logo, em B a matriz é
FB = 0 & -1 1 & 0

Passo 3

Para [I_{CB}) (que converte coordenadas de em coordenadas de ) escrevemos e em função de .
Resolver
.
Resolver
.
Portanto
]

Passo 4

Para IBC (que leva coordenadas de C para B) basta usar os vetores de C como colunas em relação à base canônica:
IBC = 1 & 1 2 & -1

Passo 5

A matriz de F em C é dada pela similaridade
FC =ICB;FB;IBC
Primeiro calculamos
FB,IBC =0 & -11 & 0 1 & 12 & -1 =-2 & 11 & 1
Em seguida
FC =tfrac13 & tfrac13[4pt]tfrac23 & -tfrac13 -2 & 11 & 1 =-tfrac13 & tfrac23[4pt]-tfrac53 & tfrac13 ]

Passo 6

Se u tem coordenadas 10 em C, então
[F(u)]C =FC10 =-tfrac13[4pt]-tfrac53 ]

Resposta

(a) FB=0 & -11 & 0
(b) ICB=tfrac13 & tfrac13[4pt]tfrac23 & -tfrac13, IBC=1 & 12 & -1
(c) FC=-tfrac13 & tfrac23[4pt]-tfrac53 & tfrac13
(d) [F(u)]C=-tfrac13[4pt]-tfrac53]

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