Considere a transformação linear
dada pela expressão
(a) Calcule
.
(b) Calcule
.
(c) Calcule
.
(d) Calcule
.
(e) Calcule
.
(f) Para quais valores de
e
temos
? Você terá que calcular a expressão para
, igualar a
e resolver o sistema linear para obter
e
. Com isso você calculou a transformação inversa:
.
(g) Faça o mesmo procedimento do item anterior, mas a fim de obter a expressão geral
.
(h) Calcule
.
(b) Calcule
(c) Calcule
(d) Calcule
(e) Calcule
(f) Para quais valores de
(g) Faça o mesmo procedimento do item anterior, mas a fim de obter a expressão geral
(h) Calcule
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
e pede vários cálculos de imagens, uso da linearidade, e por fim a inversa de
. Vamos usar:
- A definição de
para vetores específicos. - A propriedade linear
. - Para achar
, resolver o sistema linear dado por .
Passo 2
Calcular
e
usando diretamente a fórmula:
Passo 3
Para o item (c) temos
. Usando linearidade e depois a definição:
Isto responde também o item (d), pois era o mesmo vetor.
Passo 4
Para
aplicamos direto a definição:
Isso dá
Passo 5
Para achar
Da primeira equação . Assim
Passo 6
Para obter
de forma geral, seja
. Então
Da primeira
. Na segunda:
Então
Trocando
por
na notação de
, temos
Passo 7
Aplicando a fórmula de
ao ponto
:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)