Considere a transformação linear T: R^2 R^2 dada pela expressão
T(x, y)=(x-y, 5 y-3 x)
(a) Calcule T(1,0).
(b) Calcule T(0,1).
(c) Calcule T(2(1,0)-(0,1)).
(d) Calcule T(2,-1).
(e) Calcule T(a+b, a-b).
(f) Para quais valores de alpha e beta temos T(alpha, beta)=(5,-3) ? Você terá que calcular a expressão para T(alpha, beta), igualar a (5,-3) e resolver o sistema linear para obter alpha e beta. Com isso você calculou a transformação inversa: T^-1(5,-3)=(alpha, beta).
(g) Faça o mesmo procedimento do item anterior, mas a fim de obter a expressão geral T^-1(x, y).
(h) Calcule T^-1(37,42).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^2 to R^2, T(x,y)=(x-y,;5y-3x)
e pede vários cálculos de imagens, uso da linearidade, e por fim a inversa de T. Vamos usar:
  • A definição de T para vetores específicos.
  • A propriedade linear T(lambda v+mu w)=lambda T(v)+mu T(w).
  • Para achar T^-1, resolver o sistema linear dado por (u,v)=T(x,y).

Passo 2

Calcular T(1,0) e T(0,1) usando diretamente a fórmula:
T(1,0)=(1-0,;5cdot0-3cdot1)=(1,-3),
T(0,1)=(0-1,;5cdot1-3cdot0)=(-1,5)

Passo 3

Para o item (c) temos 2(1,0)-(0,1)=(2,-1). Usando linearidade e depois a definição:
T(2,-1)=(2-(-1),;5(-1)-3cdot2)=(3,;-5-6)=(3,-11)
Isto responde também o item (d), pois era o mesmo vetor.

Passo 4

Para (a+b,a-b) aplicamos direto a definição:
T(a+b,a-b)=l((a+b)-(a-b),;5(a-b)-3(a+b)r)
Isso dá
l(2b,;5a-5b-3a-3br)=l(2b,;2a-8br)

Passo 5

Para achar
Da primeira equação . Assim

Passo 6

Para obter T^-1(x,y) de forma geral, seja (u,v)=T(x,y). Então
u=x-y, v=5y-3x
Da primeira x=u+y. Na segunda:
v=5y-3(u+y)=2y-3uimplies2y=v+3uimplies y=v+3u2
Então
x=u+y=2u+v+3u2=5u+v2
Trocando (u,v) por (x,y) na notação de T^-1, temos
T^-1(x,y)=l(5x+y2,;3x+y2r)

Passo 7

Aplicando a fórmula de T^-1 ao ponto (37,42):
T^-1(37,42)=l(tfrac5cdot37+422,;tfrac3cdot37+422r) =l(tfrac2272,;tfrac1532r)

Resposta

(a) (1,-3)
(b) (-1,5)
(c) (3,-11)
(d) (3,-11)
(e) l(2b,;2a-8br)
(f) (alpha,beta)=(11,6)
(g) T^-1(x,y)=l(tfrac5x+y2,;tfrac3x+y2r)
(h) l(tfrac2272,;tfrac1532r)

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