Seja
. Em cada caso, verifique que são relações de equivalência em
e encontre as classes de equivalência
. Em cada caso, diga quem é
.
R={(a, a),(b, b),(c, c),(d, d),(a, b),(b, a)}
R={(a, a),(b, b),(c, c),(d, d),(a, b),(b, a)}
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e a relação .
O que se pede é:
e a relação
O que se pede é:
- Verificar que
é relação de equivalência em . - Calcular as classes de equivalência
. - Determinar o conjunto quociente
.
Passo 2
Para mostrar que
é relação de equivalência, vamos conferir as três propriedades:
-
Reflexividade: para todo
deve valer .
Observamos que, logo é reflexiva. -
Simetria: sempre que
deve ter .
Emalém dos pares triviais , o único par não-trivial é , e temos também . Não há outro par distinto, então é simétrica. -
Transitividade: sempre que
e deve vir .
As únicas cadeias não-triviais sãoe , que concatenam para , já presente em . Todos os demais envolvem pares iguais. Assim, é transitiva.
Concluímos que
é relação de equivalência em
.
Passo 3
A classe de equivalência de um elemento
é
.
-
, pois e estão em . -
, pois e estão em . -
, pois só está em . -
, pois só está em .
Resposta
O conjunto quociente é