Seja A=\{a, b, c, d\}. Em cada caso, verifique que são relações de equivalência em A e encontre as classes de equivalência \bar{a}, \bar{b}, \bar{c}, \bar{d}. Em cada caso, diga quem é A / R.
R={(a, a),(b, b),(c, c),(d, d),(a, b),(b, a)}

Passo 1

O enunciado define o conjunto \,A=\{a,b,c,d\}\,
e a relação \,R=\{(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,b),(b,a)\}.
O que se pede é:
  1. Verificar que R é relação de equivalência em A.
  2. Calcular as classes de equivalência \bar a,\bar b,\bar c,\bar d.
  3. Determinar o conjunto quociente A/R.

Passo 2

Para mostrar que R é relação de equivalência, vamos conferir as três propriedades:
  1. Reflexividade: para todo x\in A deve valer (x,x)\in R.
    Observamos que (a,a),(b,b),(c,c),(d,d)\in R, logo R é reflexiva.
  2. Simetria: sempre que (x,y)\in R deve ter (y,x)\in R.
    Em R além dos pares triviais (x,x), o único par não-trivial é (a,b), e temos também (b,a). Não há outro par distinto, então R é simétrica.
  3. Transitividade: sempre que (x,y)\in R e (y,z)\in R deve vir (x,z)\in R.
    As únicas cadeias não-triviais são (a,b) e (b,a), que concatenam para (a,a), já presente em R. Todos os demais envolvem pares iguais. Assim, R é transitiva.
Concluímos que R é relação de equivalência em A.

Passo 3

A classe de equivalência de um elemento x é \displaystyle \bar x=\{y\in A\mid (x,y)\in R\}.
  • \displaystyle \bar a=\{y\in A\mid (a,y)\in R\}=\{a,b\}, pois (a,a) e (a,b) estão em R.
  • \displaystyle \bar b=\{y\in A\mid (b,y)\in R\}=\{a,b\}, pois (b,a) e (b,b) estão em R.
  • \displaystyle \bar c=\{y\in A\mid (c,y)\in R\}=\{c\}, pois só (c,c) está em R.
  • \displaystyle \bar d=\{y\in A\mid (d,y)\in R\}=\{d\}, pois só (d,d) está em R.

Resposta

O conjunto quociente é
A/R=\{\{a,b\},\{c\},\{d\}\}.

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