Dado o conjunto
, verifique se
é relação de equivalência em
:
e
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a relação
é uma relação de equivalência, ou seja, se ela é reflexiva, simétrica e transitiva. Aqui
Passo 2
Verificamos a reflexividade, que exige
para todo
. Em
temos
,
e
,
mas não temos .
Logo, não é reflexiva.
mas não temos
Logo,
Passo 3
Verificamos a simetria, que exige que sempre que
então
.
Em :
Em
-
e estão presentes. -
e estão presentes.
Não há nenhum par que quebre essa condição, entãoé simétrica.
Passo 4
Verificamos a transitividade, que exige que sempre que
e
então
.
Um contraexemplo é usar e
:
para ser transitiva, precisaria ter , mas esse par falta em
.
Portanto, não é transitiva.
Um contraexemplo é usar
para ser transitiva, precisaria ter
Portanto,
Passo 5
Como
falha em dois dos três requisitos (não é reflexiva e não é transitiva), concluímos que não é relação de equivalência.