Dado o conjunto A, verifique se R é relação de equivalência em A :
A=\{1,2,3,4\} e R=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,4),(4,3),(3,3)\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a relação R\subseteq A\times A é uma relação de equivalência, ou seja, se ela é reflexiva, simétrica e transitiva. Aqui
A = \{1,2,3,4\},
R = \{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,4),(4,3),(3,3)\}.

Passo 2

Verificamos a reflexividade, que exige (x,x)\in R para todo x\in A. Em R temos (1,1), (2,2) e (3,3),
mas não temos (4,4).
Logo, R não é reflexiva.

Passo 3

Verificamos a simetria, que exige que sempre que (a,b)\in R então (b,a)\in R.
Em R:
  • (1,2) e (2,1) estão presentes.
  • (3,4) e (4,3) estão presentes.
    Não há nenhum par que quebre essa condição, então R é simétrica.

Passo 4

Verificamos a transitividade, que exige que sempre que (a,b)\in R e (b,c)\in R então (a,c)\in R.
Um contraexemplo é usar (4,3)\in R e (3,4)\in R:
para ser transitiva, precisaria ter (4,4)\in R, mas esse par falta em R.
Portanto, R não é transitiva.

Passo 5

Como R falha em dois dos três requisitos (não é reflexiva e não é transitiva), concluímos que não é relação de equivalência.

Resposta

R não é relação de equivalência em A.

Exercícios relacionados