Seja
. Em cada caso, verifique que são relações de equivalência em
e encontre as classes de equivalência
. Em cada caso, diga quem é
.
R={(a, a),(a, b),(b, a),(b, b),(c, d),(d, c),(c, c),(d, d)}
R={(a, a),(a, b),(b, a),(b, b),(c, d),(d, c),(c, c),(d, d)}
Passo 1
O enunciado apresenta o conjunto
e a relação
O conteúdo é teoria de relações de equivalência: vamos verificar que
é reflexiva, simétrica e transitiva, depois determinar as classes de equivalência
e, por fim, descrever o conjunto quociente
.
Passo 2
Verificamos as três propriedades:
-
Reflexividade: para todo
deve ocorrer . De fato . -
Simetria: se
então .
- De
temos . - De
temos .
E as demais são pares diagonais, que são triviais.
- Transitividade: se
e então .
- Entre
e : as combinações possíveis produzem sempre pares em . - Entre
e : as combinações possíveis produzem sempre pares em .
Não há “mistura” entree , então não surgem casos fora de .
Logo,
é relação de equivalência.
Passo 3
A definição de classe de equivalência é
-
. -
, logo . -
. -
, logo .
Resposta
As classes de equivalência são
O conjunto quociente é