Seja A=\{a, b, c, d\}. Em cada caso, verifique que são relações de equivalência em A e encontre as classes de equivalência \bar{a}, \bar{b}, \bar{c}, \bar{d}. Em cada caso, diga quem é A / R.
R={(a, a),(a, b),(b, a),(b, b),(c, d),(d, c),(c, c),(d, d)}

Passo 1

O enunciado apresenta o conjunto A=\{a,b,c,d\} e a relação
R=\{(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c),(c,d),(d,c),(d,d)\}.
O conteúdo é teoria de relações de equivalência: vamos verificar que R é reflexiva, simétrica e transitiva, depois determinar as classes de equivalência \bar a,\bar b,\bar c,\bar d e, por fim, descrever o conjunto quociente A/R.

Passo 2

Verificamos as três propriedades:
  1. Reflexividade: para todo x\in A deve ocorrer (x,x)\in R. De fato (a,a),(b,b),(c,c),(d,d)\in R.
  2. Simetria: se (x,y)\in R então (y,x)\in R.
  • De (a,b)\in R temos (b,a)\in R.
  • De (c,d)\in R temos (d,c)\in R.
    E as demais são pares diagonais, que são triviais.
  1. Transitividade: se (x,y)\in R e (y,z)\in R então (x,z)\in R.
  • Entre a e b: as combinações possíveis produzem sempre pares em \{(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)\}\subset R.
  • Entre c e d: as combinações possíveis produzem sempre pares em \{(c,c),(c,d),(d,c),(d,d)\}\subset R.
    Não há “mistura” entre \{a,b\} e \{c,d\}, então não surgem casos fora de R.
Logo, R é relação de equivalência.

Passo 3

A definição de classe de equivalência é
\bar x = \{y\in A \mid (x,y)\in R\}.
  • \bar a = \{\,y\mid (a,y)\in R\} = \{a,b\}.
  • \bar b = \{\,y\mid (b,y)\in R\} = \{a,b\}, logo \bar b=\bar a.
  • \bar c = \{\,y\mid (c,y)\in R\} = \{c,d\}.
  • \bar d = \{\,y\mid (d,y)\in R\} = \{c,d\}, logo \bar d=\bar c.

Resposta

As classes de equivalência são
\bar a = \bar b = \{a,b\}, \quad \bar c = \bar d = \{c,d\}.
O conjunto quociente é
A / R = \{\{a,b\},\,\{c,d\}\}.

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