Seja ABCD um paralelogramo com o ângulo \hat{\mathrm{A}} agudo e E um ponto em seu interior tal que \mathrm{AE}=\mathrm{DE} e \angle \mathrm{ABE}=90^{\circ}. Seja M o ponto médio de BC. Determine a medida de \angle \mathrm{DME}.

Passo 1

O enunciado dá um paralelogramo ABCD com \angle A agudo, um ponto interior E tal que AE=DE e \angle ABE=90^\circ, e M ponto médio de BC. Vamos usar geometria analítica: colocar vértices em coordenadas, impor as condições de distância e ângulo e mostrar que \angle DME=90^\circ.

Passo 2

Escolhemos
A=(0,0),\quad B=(1,0),\quad D=(a,b)\\ (\!a>0,b>0),
então C=B+D=(1+a,b) e o ponto médio
M=\Bigl(\tfrac{1+(1+a)}{2},\tfrac{0+b}{2}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{2+a}{2},\tfrac{b}{2}\Bigr).

Passo 3

Como \angle ABE=90^\circ, vetores \overrightarrow{BA}=(-1,0) e \overrightarrow{BE}=(x_E-1,y_E) são ortogonais, então
(-1)\,(x_E-1)+0\cdot y_E=0\implies x_E=1.
Logo E=(1,y).

Passo 4

Impor AE=DE. Calculamos
AE^2 = (1-0)^2 + (y-0)^2 = 1 + y^2,
DE^2 = (1-a)^2 + (y-b)^2 = (1-a)^2 + y^2 -2by + b^2.
Igualando AE^2=DE^2 e cancelando y^2 vem
1 = (1-a)^2 + b^2 -2b\,y \;\Longrightarrow\; 2b\,y = (1-a)^2 + b^2 -1 = a^2 -2a + b^2,
b\,y = \frac{a^2 -2a + b^2}{2}.

Passo 5

Formamos os vetores
\overrightarrow{MD} = D - M =\Bigl(a-\tfrac{2+a}{2},\,b-\tfrac{b}{2}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{a-2}{2},\,\tfrac{b}{2}\Bigr),
\overrightarrow{ME} = E - M =\Bigl(1-\tfrac{2+a}{2},\,y-\tfrac{b}{2}\Bigr) =\Bigl(-\tfrac{a}{2},\,y-\tfrac{b}{2}\Bigr).
O produto escalar é
\overrightarrow{MD}\cdot\overrightarrow{ME} =-\frac{a(a-2)}{4}+\frac{b\,y}{2}-\frac{b^2}{4}.
Substituindo b\,y=(a^2-2a+b^2)/2 obtemos
\overrightarrow{MD}\cdot\overrightarrow{ME}=0,
logo \overrightarrow{MD}\perp\overrightarrow{ME}.

Resposta

\displaystyle 90^\circ

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