Seja A B C D é tetraedro com vértices A=(1,2,-1), B=(1,-1,-2), C=(-1,1,-3), D= (1,0,2).
Determine ângulos entre aresta A D e face A B C

Passo 1

O enunciado dá um tetraedro com vértices
A=(1,2,-1), B=(1,-1,-2), C=(-1,1,-3), D=(1,0,2)
e pede o ângulo entre a aresta AD e a face ABC.
Para isso vamos:
1. Calcular o vetor AD.
2. Obter dois vetores no plano ABC, digamos AB e AC.
3. Fazer o produto vetorial desses dois para achar a normal n ao plano.
4. Usar o produto escalar entre AD e n para achar o ângulo beta entre AD e a normal.
5. Obter o ângulo alpha entre AD e o plano usando alpha=90^circ-beta.

Passo 2

Calculando o vetor da aresta AD:
AD = D - A = (1-1,;0-2,;2-(-1)) = (0,,-2,;3)

Passo 3

Os vetores que ficam na face ABC são
AB = B - A = (1-1,;-1-2,;-2-(-1)) = (0,,-3,,-1),
AC = C - A = (-1-1,;1-2,;-3-(-1)) = (-2,,-1,,-2)

Passo 4

A normal ao plano ABC é
n = AB times AC = i & j & k 0 & -3 & -1 -2 & -1 & -2 = (5,,2,,-6)

Passo 5

Primeiro o produto escalar e as normas:
ADcdotn = (0)(5)+(-2)(2)+(3)(-6) = -4 -18 = -22,
l|ADr| = raiz0^2+(-2)^2+3^2 = raiz13, l|nr| = raiz5^2+2^2+(-6)^2 = raiz65
O ângulo beta entre a reta AD e a normal ao plano satisfaz
cosbeta = l|ADcdotnr||AD|;|n| = 22raiz13,raiz65 = 2213raiz5
Logo
beta = arccos!l(2213raiz5r)approx 40,6^circ

Passo 6

O ângulo alpha entre a aresta AD e o plano ABC é o complemento de beta:
alpha = 90^circ - beta approx 90^circ - 40,6^circ = 49,4^circ

Resposta

beta = arccos!l(tfrac2213raiz5r)approx 40,6^circ (entre AD e a normal)
alpha = 90^circ - betaapprox 49,4^circ (entre AD e o plano ABC)

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