Ainda não respondida
Vale 1,00 ponto(s).
Para quais valores de k, os pontos A=(6,1,0), B=(k^2+5,-1,-4), C=(4,2,-1) e D=(3,1,-6) se tornam coplanares, isto é, pertencem ao mesmo plano?
Escolha uma opção:
ค. pm 2
b. pm 1
C. pm raiz2
d. pm raiz3
e. pm raiz5

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de k para os quais os pontos A=(6,1,0), B=(k^2+5,-1,-4), C=(4,2,-1) e D=(3,1,-6) são coplanares. O conteúdo envolve geometria analítica em R^3 e usamos o fato de que quatro pontos são coplanares se e só se o volume do tetraedro que formam é zero, o que equivale a ter o produto misto das três arestas a partir de um vértice igual a zero.

Passo 2

Escolhendo A como vértice de referência, definimos os vetores
AB=B-A=(k^2-1,,-2,,-4), AC=C-A=(-2,,1,,-1), AD=D-A=(-3,,0,,-6)

Passo 3

O produto misto l(ABtimesACr)cdotAD é dado pelo determinante
det k^2-1 & -2 & -4 -2 & 1 & -1 -3 & 0 & -6
Para coplanaridade, impomos essa expressão igual a zero.

Passo 4

Calculando o determinante por expansão na primeira linha:
det=-6(k^2-1)+2cdot9-4cdot3=-6k^2+6+18-12=-6k^2+12
Logo, a condição de coplanaridade é
-6k^2+12=0Longrightarrow k^2=2

Passo 5

Da equação k^2=2 segue k=pmraiz2, que corresponde à alternativa C.

Resposta

C. pmraiz2

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