Verifique se os vetores
\vec{a}=(3,-2,1), \quad \vec{b}=(-6,4,-2)
sĩo colineares.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3:
\vec{a}=(3,-2,1),\qquad \vec{b}=(-6,4,-2).
A pergunta é: verificar se esses vetores são colineares (ou seja, se estão na mesma reta que passa pela origem).

Passo 2

O que significa “vetores colineares”? Vou explicar devagarinho e de forma concreta.
  • Dois vetores \vec{u} e \vec{v} são colineares quando existe um número real \lambda tal que
\vec{u}=\lambda\vec{v}.
  • Aqui \lambda é um escalar (um número real). Isso significa que cada componente de \vec{u} deve ser igual ao mesmo escalar \lambda multiplicado pela componente correspondente de \vec{v}.
Esse é o teste mais direto: comparar componente a componente e ver se as razões são todas iguais ao mesmo \lambda.

Passo 3

Calcular as razões entre as componentes correspondentes de \vec{a} e \vec{b}. Vou pegar as componentes na ordem x,y,z:
\frac{a_x}{b_x}=\frac{3}{-6}=-\tfrac{1}{2},
\frac{a_y}{b_y}=\frac{-2}{4}=-\tfrac{1}{2},
\frac{a_z}{b_z}=\frac{1}{-2}=-\tfrac{1}{2}.
As três razões deram exatamente o mesmo número -\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Como todas as razões são iguais a um mesmo escalar -\tfrac{1}{2}, existe \lambda=-\tfrac{1}{2} tal que
\vec{a}=\lambda\vec{b}.
Para checar na prática, multiplicar \vec{b} por -\tfrac{1}{2}:
-\tfrac{1}{2}\vec{b}=-\tfrac{1}{2}(-6,4,-2)=(3,-2,1)=\vec{a}.
Portanto os vetores estão na mesma direção (mesma reta através da origem), apenas apontando sentidos opostos quando \lambda<0.

Passo 5

Um exemplo rápido para fixar: os vetores (2,4,6) e (1,2,3) são colineares porque (2,4,6)=2(1,2,3). Outro método possível (mais geral em \mathbb{R}^3) seria calcular o produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} e verificar se ele é o vetor nulo; aqui isso também ocorreria, mas o teste das razões é mais direto e econômico para este caso. Vai dar tudo certo na prova — respira fundo e confia no passo a passo.

Resposta

Sim. \vec{a}=-\tfrac{1}{2}\vec{b}

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