Seja
B=\left[\begin{array}{ll} 2 & 0 \\\\ 0 & 2 \end{array}\right]
Encontre B^{2}, B^{3} e B^{n}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
B = \begin{pmatrix}2 & 0 \\[6pt] 0 & 2\end{pmatrix}
e pede B^2, B^3 e B^n. O conteúdo aqui é potência de matriz diagonal (ou escalar), e vamos usar multiplicação de matrizes e a propriedade de que, para uma matriz diagonal, basta elevar cada elemento da diagonal à potência desejada.]

Passo 2

Para calcular
B^2 = B \cdot B
fazemos a multiplicação:
\begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot2 + 0\cdot0 & 2\cdot0 + 0\cdot2 \\[6pt] 0\cdot2 + 2\cdot0 & 0\cdot0 + 2\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 0 \\[4pt] 0 & 4\end{pmatrix}.]

Passo 3

Para calcular
B^3 = B^2 \cdot B
usamos o resultado de B^2:
\begin{pmatrix}4 & 0 \\[4pt] 0 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\cdot2 & 0 \\[4pt] 0 & 4\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8 & 0 \\[4pt] 0 & 8\end{pmatrix}.]

Passo 4

Como B é diagonal com entradas iguais a 2, ao elevarmos à potência n cada elemento da diagonal fica 2^n. Logo,
B^n = \begin{pmatrix}2^n & 0 \\[4pt] 0 & 2^n\end{pmatrix}.]

Resposta

B^2 = \begin{pmatrix}4 & 0 \\[4pt] 0 & 4\end{pmatrix} B^3 = \begin{pmatrix}8 & 0 \\[4pt] 0 & 8\end{pmatrix} B^n = \begin{pmatrix}2^n & 0 \\[4pt] 0 & 2^n\end{pmatrix}]

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