Seja
A=\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right]
(a) Calcule A^{2};
(b) Calcule A^{3}.
(c) O que você observa sobre A^{2} e A^{3} ?

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[6pt] 1 & 0\end{pmatrix}
e pede (a) A^2, (b) A^3 e (c) uma observação sobre esses resultados. Vamos usar multiplicação de matrizes 2\times 2 e propriedades de potências.]

Passo 2

Para calcular
A^2 = A \cdot A
fazemos o produto linha‐por‐coluna:
A^2 = \begin{pmatrix} 0\cdot 0 + 1\cdot 1 & 0\cdot 1 + 1\cdot 0 \\[6pt] 1\cdot 0 + 0\cdot 1 & 1\cdot 1 + 0\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Para A^3 usamos
A^3 = A^2 \cdot A.
Como A^2 = I_2, o produto com A
A^3 = I_2 \cdot A = A.

Passo 4

Observamos que
A^2 = I_2 \quad\text{e}\quad A^3 = A.
Isto mostra que A é involutória: potências pares retornam I_2 e potências ímpares retornam A.

Resposta

(a) \displaystyle A^2 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
(b) \displaystyle A^3 = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.
(c) Note que A^2 = I_2 e A^3 = A, ou seja, as potências de A são periódicas de período 2 (involutória).]

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