Seja B uma matriz 3 times 3 dada por
B=[lll 1 & 2 & 3 0 & 1 & 4 5 & 6 & 0 ]
(a) Calcule o determinante da matriz B.
(b) Verifique se B é invertível. Em caso afirmativo, encontre a matriz inversa de B.

Passo 1

O enunciado dá a matriz BinR^3times3 e pede (a) o determinante det(B) e (b) verificar se B é invertível e, em caso afirmativo, achar B^-1. Vamos usar a Regra de Sarrus para det(B) e, para a inversa, o método da matriz adjunta (cofatores e transposta).

Passo 2

Aplicando a Regra de Sarrus em
B= 1 & 2 & 3 0 & 1 & 4 5 & 6 & 0 ,
temos
det(B) =1cdot1cdot0 + 2cdot4cdot5 + 3cdot0cdot6 ;-;l(3cdot1cdot5 + 2cdot0cdot0 + 1cdot4cdot6r)
Calculando cada termo,
det(B) =0 + 40 + 0 ;-;(15 + 0 + 24) =40 - 39 =1
Como det(B)=1neq0, concluímos que B é invertível. Agora vamos encontrar B^-1 pelo processo de cofatores.

Passo 3

Para cada entrada bij de B, calculamos seu cofator Cij=(-1)^i+jMij, onde Mij é o menor obtido removendo a linha i e a coluna j. Os cofatores são:
C11&=+,det1&46&0 =1cdot0-4cdot6=-24, C12&=-,det0&45&0 =-(0cdot0-4cdot5)=+20, C13&=+,det0&15&6 =0cdot6-1cdot5=-5, C21&=-,det2&36&0 =-(2cdot0-3cdot6)=+18, C22&=+,det1&35&0 =1cdot0-3cdot5=-15, C23&=-,det1&25&6 =-(1cdot6-2cdot5)=+4, C31&=+,det2&31&4 =2cdot4-3cdot1=5, C32&=-,det1&30&4 =-(1cdot4-3cdot0)=-4, C33&=+,det1&20&1 =1cdot1-2cdot0=1
Logo, a matriz de cofatores é
-24 & 20 & -5 18 & -15 & 4 5 & -4 & 1

Passo 4

A adjunta de B é a transposta da matriz de cofatores:
adj(B) = -24 & 18 & 5 20 & -15 & -4 -5 & 4 & 1
Como det(B)=1, a inversa é
B^-1 =1det(B),adj(B) =adj(B) = -24 & 18 & 5 20 & -15 & -4 -5 & 4 & 1

Resposta

(a) det(B)=1.
(b) Sim, B é invertível, e
B^-1 = -24 & 18 & 5 20 & -15 & -4 -5 & 4 & 1

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