Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas:
& 2 x1+2 x2+2 x3=0 &-2 x1+5 x2+2 x3= 1 & 8 x1+x2+4 x3=-1

Passo 1

Então, a gente tem um sistema de três equações com três incógnitas: x1, x2 e x3. O assunto aqui é Álgebra Linear, mais especificamente o método de Gauss-Jordan, que vamos usar pra resolver esse sistema e encontrar os valores das incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. Isso significa colocar os coeficientes das incógnitas e os termos constantes juntos em uma tabela. Então, a nossa matriz fica assim:
2 & 2 & 2 & | & 0 -2 & 5 & 2 & | & 1 8 & 1 & 4 & | & -1

Passo 3

Agora, queremos transformar essa matriz em uma forma onde fique mais fácil encontrar as soluções. O primeiro passo é deixar o primeiro elemento da primeira linha igual a 1. Para isso, vamos dividir toda a primeira linha por 2:
1 & 1 & 1 & | & 0 -2 & 5 & 2 & | & 1 8 & 1 & 4 & | & -1

Passo 4

Em seguida, vamos eliminar o x1 das outras linhas. Para a segunda linha, vamos adicionar 2 vezes a primeira linha:
1 & 1 & 1 & | & 0 0 & 7 & 4 & | & 1 8 & 1 & 4 & | & -1
E para a terceira linha, vamos subtrair 8 vezes a primeira linha:
1 & 1 & 1 & | & 0 0 & 7 & 4 & | & 1 0 & -7 & -4 & | & -1

Passo 5

Agora, vamos trabalhar com a segunda linha. Queremos que o segundo elemento dessa linha seja 1, então dividimos toda a segunda linha por 7:
1 & 1 & 1 & | & 0 0 & 1 & 47 & | & 17 0 & -7 & -4 & | & -1

Passo 6

Vamos eliminar o x2 das outras linhas. Na primeira linha, subtraímos a segunda linha:
1 & 0 & 37 & | & -17 0 & 1 & 47 & | & 17 0 & -7 & -4 & | & -1
Na terceira linha, adicionamos 7 vezes a segunda linha:
1 & 0 & 37 & | & -17 0 & 1 & 47 & | & 17 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 7

Observamos que a terceira linha resulta em 0 = 0, o que significa que temos infinitas soluções. Vamos expressar x3 como um parâmetro t.
Da segunda linha:
x2 + 47x3 = 17 x2 = 17 - 47t
Da primeira linha:
x1 + 37x3 = -17 x1 = -17 - 37t

Resposta

As soluções do sistema são:
x1 = -17 - 37t, x2 = 17 - 47t, x3 = t
onde t é qualquer número real.

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