Calcule as integrais abaixo usando a sistema de coordenadas mais conveniente:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
Informações dadas:
- Os limites de integração para
são a . - Para cada
, os limites de são a (peguei esse valor do enunciado). - Para cada
, os limites de são a (peguei esse valor do enunciado). - A função a integrar é
.
O objetivo é avaliar essa integral tripla sobre a região determinada por esses limites.
Passo 2
Vamos entender geometricamente a região de integração (isso é importante para escolher coordenadas convenientes).
- A condição
implica e , ou seja . - As condições
e significam , e que o par está dentro do disco de raio no primeiro quadrante (peguei os limites do enunciado).
Portanto a região é o pedaço da bola unidadeonde . Ou seja, é um oitante (um oitavo) da esfera de raio .
Passo 3
Qual sistema de coordenadas usar?
- A região é um pedaço de bola e a superfície superior é
. Para regiões esféricas, coordenadas esféricas geralmente simplificam muito. - A integranda
em esféricas vira uma expressão simples em termos de e (ângulo polar). Por isso escolho coordenadas esféricas (essa é a escolha mais conveniente aqui).
Passo 4
Definição das coordenadas esféricas e do jacobiano (aula rápida):
- Em coordenadas esféricas usamos
(distância à origem), (ângulo com o eixo , chamado ângulo polar) e (ângulo azimutal no plano medido a partir do eixo ).
As relações são:
- O elemento de volume (jacobiano) vale
Explicação curta: o fator
aparece porque a transformação distorce áreas e volumes; é padrão em esféricas.
Passo 5
Determinar os limites em esféricas para a nossa região:
- Como a bola tem raio
, temos . - Como estamos no primeiro quadrante do plano
(isto é, e ), o ângulo azimutal varia de a . - Como
(somente a metade superior), o ângulo polar varia de a .
Assim os limites são:.
Passo 6
Expressar a integranda e montar a integral em esféricas:
- Temos
, então . - O elemento de volume é
.
Multiplicando,
Logo a integral se torna
Passo 7
Calcular a integral passo a passo (separando variáveis sempre que possível):
A integral é produto de integrais separáveis em :
A integral é produto de integrais separáveis em
- Integral em
:
- Integral em
:
- Integral em
:
Calcular.
Fazer a substituição. Então .
- Quando
, . - Quando
, .
A integral fica
- Multiplicando os resultados:
Passo 8
Breve verificação por simetria (checar se bate com uma ideia alternativa):
- A região é um oitante da bola unitária, e por simetria as integrais de
sobre a bola são iguais. A soma , então em princípio essa integral pode ser relacionada à integral de sobre o oitante; o cálculo direto em esféricas que fizemos confirma o valor . Tudo consistente.