Calcule as integrais abaixo usando a sistema de coordenadas mais conveniente:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}} z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{dy} \mathrm{dx}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}} z^{2}\,dz\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • Os limites de integração para x são 0 a 1.
  • Para cada x, os limites de y são 0 a \sqrt{1-x^{2}} (peguei esse valor do enunciado).
  • Para cada x,y, os limites de z são 0 a \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} (peguei esse valor do enunciado).
  • A função a integrar é z^{2}.
    O objetivo é avaliar essa integral tripla sobre a região determinada por esses limites.

Passo 2

Vamos entender geometricamente a região de integração (isso é importante para escolher coordenadas convenientes).
  • A condição 0 \le z \le \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} implica z\ge0 e z^{2} \le 1-x^{2}-y^{2}, ou seja x^{2}+y^{2}+z^{2} \le 1.
  • As condições 0\le x\le1 e 0\le y\le\sqrt{1-x^{2}} significam x\ge0, y\ge0 e que o par (x,y) está dentro do disco de raio 1 no primeiro quadrante (peguei os limites do enunciado).
    Portanto a região é o pedaço da bola unidade \{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le1\} onde x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0. Ou seja, é um oitante (um oitavo) da esfera de raio 1.

Passo 3

Qual sistema de coordenadas usar?
  • A região é um pedaço de bola e a superfície superior é x^{2}+y^{2}+z^{2}=1. Para regiões esféricas, coordenadas esféricas geralmente simplificam muito.
  • A integranda z^{2} em esféricas vira uma expressão simples em termos de \rho e \varphi (ângulo polar). Por isso escolho coordenadas esféricas (essa é a escolha mais conveniente aqui).

Passo 4

Definição das coordenadas esféricas e do jacobiano (aula rápida):
  • Em coordenadas esféricas usamos \rho (distância à origem), \varphi (ângulo com o eixo z, chamado ângulo polar) e \theta (ângulo azimutal no plano xy medido a partir do eixo x).
    As relações são:
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
  • O elemento de volume (jacobiano) vale
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Explicação curta: o fator \rho^{2}\sin\varphi aparece porque a transformação distorce áreas e volumes; é padrão em esféricas.

Passo 5

Determinar os limites em esféricas para a nossa região:
  • Como a bola tem raio 1, temos 0\le\rho\le1.
  • Como estamos no primeiro quadrante do plano xy (isto é, x\ge0 e y\ge0), o ângulo azimutal \theta varia de 0 a \tfrac{\pi}{2}.
  • Como z\ge0 (somente a metade superior), o ângulo polar \varphi varia de 0 a \tfrac{\pi}{2}.
    Assim os limites são: 0\le\rho\le1,\;0\le\varphi\le\tfrac{\pi}{2},\;0\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}.

Passo 6

Expressar a integranda e montar a integral em esféricas:
  • Temos z=\rho\cos\varphi, então z^{2}=\rho^{2}\cos^{2}\varphi.
  • O elemento de volume é \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
    Multiplicando,
z^{2}\,dV = \rho^{2}\cos^{2}\varphi \cdot \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = \rho^{4}\cos^{2}\varphi\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Logo a integral se torna
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\int_{0}^{1} \rho^{4}\cos^{2}\varphi\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 7

Calcular a integral passo a passo (separando variáveis sempre que possível):
A integral é produto de integrais separáveis em \rho,\varphi,\theta:
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\int_{0}^{1} \rho^{4}\cos^{2}\varphi\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = \left(\int_{0}^{1}\rho^{4}\,d\rho\right) \left(\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos^{2}\varphi\sin\varphi\,d\varphi\right) \left(\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}d\theta\right).
  1. Integral em \rho:
\int_{0}^{1}\rho^{4}\,d\rho = \left[\frac{\rho^{5}}{5}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{5}.
  1. Integral em \theta:
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}d\theta = \frac{\pi}{2}.
  1. Integral em \varphi:
    Calcular \displaystyle \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos^{2}\varphi\sin\varphi\,d\varphi.
    Fazer a substituição u=\cos\varphi. Então du=-\sin\varphi\,d\varphi.
  • Quando \varphi=0, u=\cos 0=1.
  • Quando \varphi=\tfrac{\pi}{2}, u=\cos\tfrac{\pi}{2}=0.
    A integral fica
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos^{2}\varphi\sin\varphi\,d\varphi = \int_{u=1}^{0} u^{2}(-du) = \int_{0}^{1} u^{2}\,du = \left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}.
  1. Multiplicando os resultados:
\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{30}.

Passo 8

Breve verificação por simetria (checar se bate com uma ideia alternativa):
  • A região é um oitante da bola unitária, e por simetria as integrais de x^{2},y^{2},z^{2} sobre a bola são iguais. A soma x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}, então em princípio essa integral pode ser relacionada à integral de r^{2} sobre o oitante; o cálculo direto em esféricas que fizemos confirma o valor \tfrac{\pi}{30}. Tudo consistente.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{30}

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