Seja
o conjunto das formas bilineares em
sobre
. Demonstre:
Se
, então
e
, para
, também pertencem a
; logo
é um subespaço do espaço vetorial das funções de
em
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto B(V) de todas as formas bilineares em V sobre K é fechado sob soma e multiplicação escalar, ou seja, que se b₁ e b₂ são bilineares então b₁ + b₂ também é bilinear, e que α·b₁ também é bilinear para α∈K. Vamos usar a definição: b:V×V→K é bilinear se for linear em cada argumento separadamente.
Passo 2
Como b₁ e b₂ são bilineares, temos para quaisquer u,v,w∈V:
– b₁(u+v,w)=b₁(u,w)+b₁(v,w) e b₂(u+v,w)=b₂(u,w)+b₂(v,w),
– b₁(λu,v)=λ·b₁(u,v) e b₂(λu,v)=λ·b₂(u,v),
– e análogos no segundo argumento.
Agora defina (b₁+b₂)(x,y)=b₁(x,y)+b₂(x,y).
– b₁(u+v,w)=b₁(u,w)+b₁(v,w) e b₂(u+v,w)=b₂(u,w)+b₂(v,w),
– b₁(λu,v)=λ·b₁(u,v) e b₂(λu,v)=λ·b₂(u,v),
– e análogos no segundo argumento.
Agora defina (b₁+b₂)(x,y)=b₁(x,y)+b₂(x,y).
Passo 3
Vamos verificar que b₁+b₂ é bilinear.
Para o primeiro argumento:
Para o primeiro argumento:
Reagrupando:
E para homogeneidade:
O mesmo raciocínio vale no segundo argumento. Assim b₁+b₂ é bilinear.
Passo 4
Agora verifique α·b₁. Defina (α·b₁)(x,y)=α·b₁(x,y). Para o primeiro argumento:
que é (α·b₁)(u,w)+(α·b₁)(v,w). E
De novo, o mesmo vale no segundo argumento. Portanto α·b₁ é bilinear.
Passo 5
Como B(V) é fechado sob soma e multiplicação escalar e contém a forma zero, concluímos que B(V) é subespaço do espaço vetorial K^{V×V}.
Resposta
B(V) é fechado sob soma e multiplicação escalar, logo é subespaço de K^{V×V}.