Seja B(V) o conjunto das formas bilineares em V sobre K. Demonstre:
Se b1, b2 in B(V), então b1+b2 e alpha b1, para alpha in K, também pertencem a B(v); logo B(V) é um subespaço do espaço vetorial das funções de V times V em K.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto B(V) de todas as formas bilineares em V sobre K é fechado sob soma e multiplicação escalar, ou seja, que se b₁ e b₂ são bilineares então b₁ + b₂ também é bilinear, e que α·b₁ também é bilinear para α∈K. Vamos usar a definição: b:V×V→K é bilinear se for linear em cada argumento separadamente.

Passo 2

Como b₁ e b₂ são bilineares, temos para quaisquer u,v,w∈V:
– b₁(u+v,w)=b₁(u,w)+b₁(v,w) e b₂(u+v,w)=b₂(u,w)+b₂(v,w),
– b₁(λu,v)=λ·b₁(u,v) e b₂(λu,v)=λ·b₂(u,v),
– e análogos no segundo argumento.
Agora defina (b₁+b₂)(x,y)=b₁(x,y)+b₂(x,y).

Passo 3

Vamos verificar que b₁+b₂ é bilinear.
Para o primeiro argumento:
(b₁+b₂)(u+v,w)=b₁(u+v,w)+b₂(u+v,w)=(b₁(u,w)+b₁(v,w))+(b₂(u,w)+b₂(v,w))
Reagrupando:
(b₁(u,w)+b₂(u,w))+(b₁(v,w)+b₂(v,w))=(b₁+b₂)(u,w)+(b₁+b₂)(v,w)
E para homogeneidade:
(b₁+b₂)(λu,v)=b₁(λu,v)+b₂(λu,v)=λ·b₁(u,v)+λ·b₂(u,v)=λ·(b₁(u,v)+b₂(u,v))=λ·(b₁+b₂)(u,v)
O mesmo raciocínio vale no segundo argumento. Assim b₁+b₂ é bilinear.

Passo 4

Agora verifique α·b₁. Defina (α·b₁)(x,y)=α·b₁(x,y). Para o primeiro argumento:
(α·b₁)(u+v,w)=α·b₁(u+v,w)=α·(b₁(u,w)+b₁(v,w))=α·b₁(u,w)+α·b₁(v,w)
que é (α·b₁)(u,w)+(α·b₁)(v,w). E
(α·b₁)(λu,v)=α·b₁(λu,v)=α·(λ·b₁(u,v))=(αλ)·b₁(u,v)=λ·(α·b₁(u,v))=(λ·(α·b₁))(u,v)
De novo, o mesmo vale no segundo argumento. Portanto α·b₁ é bilinear.

Passo 5

Como B(V) é fechado sob soma e multiplicação escalar e contém a forma zero, concluímos que B(V) é subespaço do espaço vetorial K^{V×V}.

Resposta

B(V) é fechado sob soma e multiplicação escalar, logo é subespaço de K^{V×V}.

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