5 Sejam
e
. Definamos
, onde
.
(i) Mostre que
é uma forma bilinear em
.
(ii) Encontre a matriz de
na base
(i) Mostre que
(ii) Encontre a matriz de
Passo 1
Temos o espaço V = M₂(ℝ) e a forma bilinear b(X,Y) = traço(XᵀMY), onde M =
. Precisamos mostrar que b é bilinear (isto é, linear em cada argumento) e depois encontrar sua matriz na base canônica
, em que cada E_{ij} tem 1 na posição (i,j) e zeros nos demais.
Passo 2
Para mostrar a bilinearidade, usamos as propriedades da trace: ela é linear, ou seja,
e
. Então, para qualquer X₁,X₂,Y ∈ V e escalar c, temos
e de modo análogo em relação a Y. Logo, b é bilinear.
Passo 3
Agora, para obter a matriz, escrevemos
Calculamos primeiro
Multiplicando por Y e tomando a trace, chega-se a
Reagrupando,
Passo 4
Comparando com a expressão geral de uma forma bilinear
, identificamos que, na base
, a matriz de b é