5 Sejam V=M2(R) e ll1 & 2 3 & 5. Definamos X, Y in V̧, onde b.
(i) Mostre que V é uma forma bilinear em b.
(ii) Encontre a matriz de (ll 1 & 0 0 & 0 ),(ll 0 & 1 0 & 0 ),(ll 0 & 0 1 & 0 ),(ll 0 & 0 0 & 1 ) na base

Passo 1

Temos o espaço V = M₂(ℝ) e a forma bilinear b(X,Y) = traço(XᵀMY), onde M = 1 & 23 & 5. Precisamos mostrar que b é bilinear (isto é, linear em cada argumento) e depois encontrar sua matriz na base canônica E11,E12,E21,E22, em que cada E_{ij} tem 1 na posição (i,j) e zeros nos demais.

Passo 2

Para mostrar a bilinearidade, usamos as propriedades da trace: ela é linear, ou seja, tr(A + B) = tr(A) + tr(B) e tr(cA) = c,tr(A). Então, para qualquer X₁,X₂,Y ∈ V e escalar c, temos
b(X₁+X₂,Y) = tr((X₁+X₂)ᵀ M Y) = tr(X₁ᵀ M Y) + tr(X₂ᵀ M Y) = b(X₁,Y)+b(X₂,Y),
b(cX,Y) = tr((cX)ᵀ M Y) = c,tr(Xᵀ M Y) = c,b(X,Y),
e de modo análogo em relação a Y. Logo, b é bilinear.

Passo 3

Agora, para obter a matriz, escrevemos
X = x1 & x2x3 & x4, Y = y1 & y2y3 & y4
Calculamos primeiro
Xᵀ M = x1 & x3x2 & x4 1 & 23 & 5 = x1+3x3 & 2x1+5x3x2+3x4 & 2x2+5x4
Multiplicando por Y e tomando a trace, chega-se a
b(X,Y) = (x1+3x3)y1+(x2+3x4)y2+(2x1+5x3)y3+(2x2+5x4)y4
Reagrupando,
b(X,Y)=x1y1+x2y2+2x1y3+2x2y4+3x3y1+3x4y2+5x3y3+5x4y4

Passo 4

Comparando com a expressão geral de uma forma bilinear
b(X,Y)=sumi,jxiGijyj, identificamos que, na base (E11,E12,E21,E22), a matriz de b é
G= 1 & 0 & 2 & 0 0 & 1 & 0 & 2 3 & 0 & 5 & 0 0 & 3 & 0 & 5

Resposta

1 & 0 & 2 & 0 0 & 1 & 0 & 2 3 & 0 & 5 & 0 0 & 3 & 0 & 5

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