3 Sejam R^2 e b(x, y)=2 x1 y2-3 x2 y1. Determine quais das seguintes funções são formas bilineares em b(x, y)=x1+y2 :
(i) b(x, y)=3 x2 y2
(ii) b(x, y)=x1 x2+y1 y2
(iii) b(x, y)=1
(iv) b(x, y)=0
(v)
(vi) .

Passo 1

O enunciado pede para a gente verificar, em \mathbb{R}^2, quais das funções b(x,y) dadas são bilineares, ou seja, lineares em cada argumento quando o outro fica fixo.
A definição de forma bilinear é: para todo x,x’ em \mathbb{R}^2, y em \mathbb{R}^2 e escalar a, valem
b(a x + x',,y) = a,b(x,y) + b(x',y)
e, simetricamente em y,
b(x, a y + y') = a,b(x,y) + b(x,y')
Além disso, deve satisfazer aditividade e homogeneidade em cada variável.

Passo 2

Para (i) \;b(x,y)=2x_1y_2 -3x_2y_1. Note que é da forma \sum c_{ij}x_i y_j, sempre produto de componente de x por componente de y. Isso garante linearidade em x (cada termo é proporcional a x_i) e em y. Logo é bilinear.

Passo 3

Para (ii) \;b(x,y)=x_1 + y_2. Aqui aparece um termo que depende só de x e outro só de y. Se você fixar y, b(x,y)=x_1 + constante, não é homogênea em x (b(a x,y)≠a b(x,y)), falhando na bilinearidade.

Passo 4

Para (iii) \;b(x,y)=3x_2y_2. É claramente c,x_2 y_2 com c=3, produto de uma componente de x por uma de y. Satisfaz linearidade em cada argumento, então é bilinear.

Passo 5

Para (iv) \;b(x,y)=x_1x_2 + y_1y_2. De novo, soma de função de x puro com função de y puro. Falha em ser linear em x (se y fixo, o termo y_1y_2 é constante e quebra a homogeneidade) e idem em y.

Passo 6

Para (v) \;b(x,y)=1. É constante, não satisfaz b(a x,y)=a b(x,y) (pois 1≠a·1 em geral), então não é bilinear.

Passo 7

Para (vi) \;b(x,y)=0. Essa é a forma bilinear trivial: b(a x,y)=0=a·0 e b(x,a y)=0=a·0, e a aditividade também vale. Portanto é bilinear.

Resposta

As funções bilineares são as de itens (i), (iii) e (vi).

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