3 Sejam
e
. Determine quais das seguintes funções são formas bilineares em
:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
Passo 1
O enunciado pede para a gente verificar, em \mathbb{R}^2, quais das funções b(x,y) dadas são bilineares, ou seja, lineares em cada argumento quando o outro fica fixo.
A definição de forma bilinear é: para todo x,x’ em \mathbb{R}^2, y em \mathbb{R}^2 e escalar a, valem
A definição de forma bilinear é: para todo x,x’ em \mathbb{R}^2, y em \mathbb{R}^2 e escalar a, valem
e, simetricamente em y,
Além disso, deve satisfazer aditividade e homogeneidade em cada variável.
Passo 2
Para (i) \;b(x,y)=2x_1y_2 -3x_2y_1. Note que é da forma \sum c_{ij}x_i y_j, sempre produto de componente de x por componente de y. Isso garante linearidade em x (cada termo é proporcional a x_i) e em y. Logo é bilinear.
Passo 3
Para (ii) \;b(x,y)=x_1 + y_2. Aqui aparece um termo que depende só de x e outro só de y. Se você fixar y, b(x,y)=x_1 + constante, não é homogênea em x (b(a x,y)≠a b(x,y)), falhando na bilinearidade.
Passo 4
Para (iii) \;b(x,y)=3x_2y_2. É claramente c,x_2 y_2 com c=3, produto de uma componente de x por uma de y. Satisfaz linearidade em cada argumento, então é bilinear.
Passo 5
Para (iv) \;b(x,y)=x_1x_2 + y_1y_2. De novo, soma de função de x puro com função de y puro. Falha em ser linear em x (se y fixo, o termo y_1y_2 é constante e quebra a homogeneidade) e idem em y.
Passo 6
Para (v) \;b(x,y)=1. É constante, não satisfaz b(a x,y)=a b(x,y) (pois 1≠a·1 em geral), então não é bilinear.
Passo 7
Para (vi) \;b(x,y)=0. Essa é a forma bilinear trivial: b(a x,y)=0=a·0 e b(x,a y)=0=a·0, e a aditividade também vale. Portanto é bilinear.
Resposta
As funções bilineares são as de itens (i), (iii) e (vi).