Seja B(V) o conjunto das formas bilineares em V sobre K. Demonstre:
Se varphi e psi são funcionais lineares em V, então b(x, y)=varphi(x) psi(y) pertence a B(V).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a aplicação definida por b: V×V→K, dada por b(x,y)=φ(x)ψ(y), é bilinear. Aqui o conteúdo envolvido é definição de formas bilineares: b pertence a B(V) se for linear em cada argumento separadamente.

Passo 2

Primeiro argumento: fixando y∈V, consideramos x↦b(x,y). Para quaisquer x₁,x₂∈V e λ∈K temos naturalmente
b(x₁+x₂,y)=φ(x₁+x₂)ψ(y)= (φ(x₁)+φ(x₂))ψ(y)=φ(x₁)ψ(y)+φ(x₂)ψ(y)=b(x₁,y)+b(x₂,y)
e também
b(λx₁,y)=φ(λx₁)ψ(y)=(λφ(x₁))ψ(y)=λ(φ(x₁)ψ(y))=λb(x₁,y).
Logo x↦b(x,y) é linear.

Passo 3

Segundo argumento: fixando x∈V, consideramos y↦b(x,y). Para quaisquer y₁,y₂∈V e λ∈K vale
b(x,y₁+y₂)=φ(x)ψ(y₁+y₂)=φ(x)(ψ(y₁)+ψ(y₂))=φ(x)ψ(y₁)+φ(x)ψ(y₂)=b(x,y₁)+b(x,y₂)
e
b(x,λy₁)=φ(x)ψ(λy₁)=φ(x)(λψ(y₁))=λ(φ(x)ψ(y₁))=λb(x,y₁).
Portanto y↦b(x,y) é linear.

Resposta

Como b é linear em cada argumento, concluímos que b∈B(V).

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