Sejam
um espaço vetorial sobre um corpo
um subespaço e
. Mostre que
é um subespaço de
.
Passo 1
O enunciado considera um espaço vetorial
sobre um corpo
, um subespaço
e uma forma bilinear
. Definimos
Queremos mostrar que
é subespaço de
, ou seja, que ele contém o vetor nulo e é fechado sob soma e multiplicação escalar, usando a bilinearidade de
.
Passo 2
Mostramos que o vetor nulo de
pertence a
. De fato, para todo
, pela bilinearidade em segunda entrada,
Logo
.
Passo 3
Agora provamos a estabilidade sob soma e multiplicação escalar. Sejam
e
. Para todo
, pela bilinearidade de
em cada argumento, temos
e
Isso mostra que
e
.
Resposta
Portanto
é não vazio, fechado sob soma e escalar, logo é um subespaço de
.