Sejam V um espaço vetorial sobre um corpo K, W subset V um subespaço e f in B(V). Mostre que W^1=v in V: f(w, v)=0, forall w in W é um subespaço de V.

Passo 1

O enunciado considera um espaço vetorial V sobre um corpo K, um subespaço Wsubset V e uma forma bilinear fcolon Vtimes VtoK. Definimos
W^1 = ,vin V mid f(w,v)=0forall win W
Queremos mostrar que W^1 é subespaço de V, ou seja, que ele contém o vetor nulo e é fechado sob soma e multiplicação escalar, usando a bilinearidade de f.

Passo 2

Mostramos que o vetor nulo de V pertence a W^1. De fato, para todo win W, pela bilinearidade em segunda entrada,
f(w,0) = f(w,0cdot v)=0cdot f(w,v)=0
Logo 0in W^1.

Passo 3

Agora provamos a estabilidade sob soma e multiplicação escalar. Sejam v1,v2in W^1 e alphainK. Para todo win W, pela bilinearidade de f em cada argumento, temos
f(w,v1+v2) = f(w,v1) + f(w,v2) = 0 + 0 = 0,
e
fl(w,alpha v1r) = alpha,f(w,v1) = alphacdot 0 = 0
Isso mostra que v1+v2in W^1 e alpha v1in W^1.

Resposta

Portanto W^1 é não vazio, fechado sob soma e escalar, logo é um subespaço de V.

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