Seja D=R^2 backslash(0,0). Seja o campo vetorial F: D R^2 dado por
F(x, y)=(xx^2+y^2, yx^2+y^2)
Discuta se o campo vetorial F é conservativo e, se F for conservativo, encontre um potencial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos apresenta um campo vetorial definido em , ou seja, todo o plano menos a origem. Precisamos discutir se esse campo é conservativo e, se for, encontrar um potencial para ele. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos, potenciais e propriedades como o teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função escalar tal que , onde é o gradiente de . Isso significa que o trabalho realizado por é independente do caminho seguido.

Passo 3

Para verificar se rot , F = partial Qpartial x - partial Ppartial y é conservativo, uma abordagem comum é calcular o rotacional de . Em duas dimensões, para , o rotacional é dado por:
Se o rotacional for zero em toda a região e for simplesmente conexa (sem “buracos”), então é conservativo.

Passo 4

Vamos calcular o rotacional de F(x, y) = ( xx^2 + y^2, yx^2 + y^2 ) P = xx^2 + y^2, Q = yx^2 + y^2 :
partial Qpartial x = partialpartial x ( yx^2 + y^2 ) = -2xy(x^2 + y^2)^2 partial Ppartial y = partialpartial y ( xx^2 + y^2 ) = -2xy(x^2 + y^2)^2 rot , F = -2xy(x^2 + y^2)^2 - ( -2xy(x^2 + y^2)^2 ) = 0
Calculando as derivadas parciais:
Então, o rotacional de é zero em .

Passo 5

Apesar do rotacional ser zero, precisamos considerar a região . O domínio não é simplesmente conexo porque existe um “buraco” na origem. Isso significa que mesmo com o rotacional zero, o campo pode não ser conservativo.

Passo 6

Outra maneira de verificar se partial phipartial x = xx^2 + y^2 partial phipartial y = yx^2 + y^2 é conservativo é tentar encontrar uma função potencial phi(x, y) = 12 ln(x^2 + y^2) + h(y) tal que partial phipartial y = yx^2 + y^2 + h'(y) . Se conseguirmos encontrar essa função em todo o domínio yx^2 + y^2 = yx^2 + y^2 + h'(y) Rightarrow h'(y) = 0 Rightarrow h(y) = constante , então phi(x, y) = 12 ln(x^2 + y^2) + C é conservativo.
Vamos tentar encontrar :
Integrando a primeira equação em relação a :
Derivando em relação a :
Comparando com a segunda equação original:
Portanto, a função potencial seria:
Onde é uma constante.

Passo 7

Porém, há um problema: a função não está bem definida em todo o domínio de forma contínua, especialmente ao redor da origem onde . Além disso, como o domínio não é simplesmente conexo, não podemos garantir que a função potencial seja única ou globalmente definida.

Passo 8

Outra forma de confirmar que oint F cdot dr = integral0^2pi ( r cos thetar^2, r sin thetar^2 ) cdot (-r sin theta , dtheta, r cos theta , dtheta) = integral0^2pi ( cos thetar (-r sin theta) + sin thetar (r cos theta) ) dtheta = integral0^2pi (-cos theta sin theta + sin theta cos theta) dtheta = integral0^2pi 0 , dtheta = 0 não é conservativo no domínio é calcular a integral de linha de ao redor de um círculo que envolve a origem. Se essa integral não for zero, não é conservativo.
Vamos calcular a integral ao longo de um círculo de raio , parametrizado por , , onde varia de a :
A integral é zero, o que sugere que pode ser conservativo. Contudo, devido ao domínio não ser simplesmente conexo, ainda não podemos concluir definitivamente que é conservativo.

Resposta

Considerando que o domínio não é simplesmente conexo, o campo vetorial não é conservativo em . Portanto, não existe uma função potencial global para nesse domínio.

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