Seja
. Seja o campo vetorial
dado por
Discuta se o campo vetorial
é conservativo e, se
for conservativo, encontre um potencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos apresenta um campo vetorial
definido em
, ou seja, todo o plano menos a origem. Precisamos discutir se esse campo é conservativo e, se for, encontrar um potencial para ele. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos, potenciais e propriedades como o teorema de Green.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo
é conservativo se existir uma função escalar
tal que
, onde
é o gradiente de
. Isso significa que o trabalho realizado por
é independente do caminho seguido.
Passo 3
Para verificar se
é conservativo, uma abordagem comum é calcular o rotacional de
. Em duas dimensões, para
, o rotacional é dado por:
Se o rotacional for zero em toda a região
e
for simplesmente conexa (sem “buracos”), então
é conservativo.
Passo 4
Vamos calcular o rotacional de
:
Calculando as derivadas parciais:
Então, o rotacional de
é zero em
.
Passo 5
Apesar do rotacional ser zero, precisamos considerar a região
. O domínio
não é simplesmente conexo porque existe um “buraco” na origem. Isso significa que mesmo com o rotacional zero, o campo pode não ser conservativo.
Passo 6
Outra maneira de verificar se
é conservativo é tentar encontrar uma função potencial
tal que
. Se conseguirmos encontrar essa função em todo o domínio
, então
é conservativo.
Vamos tentar encontrar
:
Integrando a primeira equação em relação a
:
Derivando em relação a
:
Comparando com a segunda equação original:
Portanto, a função potencial seria:
Onde
é uma constante.
Passo 7
Porém, há um problema: a função
não está bem definida em todo o domínio
de forma contínua, especialmente ao redor da origem onde
. Além disso, como o domínio não é simplesmente conexo, não podemos garantir que a função potencial seja única ou globalmente definida.
Passo 8
Outra forma de confirmar que
não é conservativo no domínio
é calcular a integral de linha de
ao redor de um círculo que envolve a origem. Se essa integral não for zero,
não é conservativo.
Vamos calcular a integral ao longo de um círculo de raio
, parametrizado por
,
, onde
varia de
a
:
A integral é zero, o que sugere que
pode ser conservativo. Contudo, devido ao domínio não ser simplesmente conexo, ainda não podemos concluir definitivamente que
é conservativo.
Resposta
Considerando que o domínio
não é simplesmente conexo, o campo vetorial
não é conservativo em
. Portanto, não existe uma função potencial global para
nesse domínio.