Seja
o segmento de reta orientado no plano
que vai do ponto
ao ponto
. Seja
o arco da parábola
no plano
entre os ponto
e
, orientado de
para
. Seja o campo vetorial
dado por
.
Seja
a região do plano
delimitada pelas curvas
e
. Utilizando o teorema de Green, calcule
.
Seja
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas curvas no plano
:
-
é uma reta que vai do ponto até o ponto . -
é um arco da parábola que também vai de a .
A região
é o espaço que fica entre essas duas curvas. O campo vetorial dado é
. A gente precisa calcular a integral de linha
usando o Teorema de Green. Isso envolve transformar uma integral ao longo da fronteira da região
em uma integral dupla sobre a própria região.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial
, a integral de linha ao redor de uma curva fechada
é igual à integral dupla sobre a região
de
:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então,
Passo 4
Agora, precisamos definir os limites de integração para a região
. Vamos expressar
em termos de
e
.
A reta
que une
e
tem equação linear. Para encontrar essa equação, calculamos a inclinação:
Então, a equação da reta é:
A parábola já está dada por:
Para
indo de 0 a 4, a região
está entre essas duas curvas. Então, para cada
entre 0 e 4,
varia da parábola até a reta.
Passo 5
Vamos montar a integral dupla usando os limites que encontramos:
Primeiro, integramos em relação a
:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então a integral fica:
Passo 6
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Então, a integral passa a ser:
Passo 7
Agora, integramos termo a termo:
Portanto, a integral fica:
Passo 8
Vamos substituir os limites
e
:
Para
:
Simplificando:
Para
:
Todos os termos são zero.
Resposta
Portanto, a integral
é igual a
.