Seja c1 o segmento de reta orientado no plano x y que vai do ponto A=(0,4) ao ponto B=(4,0). Seja c2 o arco da parábola y=x^2-5 x+4 no plano x y entre os ponto A e B, orientado de A para B. Seja o campo vetorial F: R^2 R^2 dado por F(x, y)=(x y, 4 x).
Seja D a região do plano x y delimitada pelas curvas c1 e c2. Utilizando o teorema de Green, calcule ointpartial D F cdot d r.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas curvas no plano :
  • é uma reta que vai do ponto até o ponto .
  • é um arco da parábola que também vai de a .
A região é o espaço que fica entre essas duas curvas. O campo vetorial dado é . A gente precisa calcular a integral de linha usando o Teorema de Green. Isso envolve transformar uma integral ao longo da fronteira da região em uma integral dupla sobre a própria região.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial ointpartial D F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy , a integral de linha ao redor de uma curva fechada é igual à integral dupla sobre a região de :
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (4x) = 4
partial Ppartial y = partialpartial y (xy) = x
Então,
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 4 - x

Passo 4

Agora, precisamos definir os limites de integração para a região m = 0 - 44 - 0 = -1 . Vamos expressar y = -x + 4 em termos de y = x^2 - 5x + 4 e .
A reta que une e tem equação linear. Para encontrar essa equação, calculamos a inclinação:
Então, a equação da reta é:
A parábola já está dada por:
Para indo de 0 a 4, a região está entre essas duas curvas. Então, para cada entre 0 e 4, varia da parábola até a reta.

Passo 5

Vamos montar a integral dupla usando os limites que encontramos:
integral duplaD (4 - x) , dy , dx = integralx=0^4 integraly=x^2 - 5x + 4^y=-x + 4 (4 - x) , dy , dx
Primeiro, integramos em relação a integraly=x^2 - 5x + 4^y=-x + 4 (4 - x) , dy = (4 - x) [ (-x + 4) - (x^2 - 5x + 4) ] :
(-x + 4) - (x^2 - 5x + 4) = -x + 4 - x^2 + 5x - 4 = 4x - x^2
Simplificando dentro dos colchetes:
integral0^4 (4 - x)(4x - x^2) , dx
Então a integral fica:

Passo 6

Vamos expandir a expressão dentro da integral:
(4 - x)(4x - x^2) = 16x - 4x^2 - 4x^2 + x^3 = 16x - 8x^2 + x^3
Então, a integral passa a ser:
integral0^4 (16x - 8x^2 + x^3) , dx

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
integral 16x , dx = 8x^2
integral -8x^2 , dx = -83x^3
integral x^3 , dx = 14x^4
Portanto, a integral fica:
[ 8x^2 - 83x^3 + 14x^4 ]0^4

Passo 8

Vamos substituir os limites 8(4)^2 - 83(4)^3 + 14(4)^4 = 8 times 16 - 83 times 64 + 14 times 256 = 128 - 5123 + 64 e 128 + 64 = 192 :
Para 192 - 5123 = 5763 - 5123 = 643 :
Simplificando:
Para :
Todos os termos são zero.

Resposta

Portanto, a integral é igual a .

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