Seja x in R backslash4,5,6,7 tal que
1x-4+1x-5+1x-6+1x-7=0
Determine x
( Resp: x in112, 11 pm raiz52)

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os reais xneq4,5,6,7 tais que
1x-4+1x-5+1x-6+1x-7=0
O conteúdo envolvido é soma de frações racionais e manipulação de polinômios (em especial, notar relação com derivada de produto de fatores).

Passo 2

Primeiro, colocamos todas as frações sobre o mesmo denominador
D=(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)
e escrevemos o numerador
N(x)=(x-5)(x-6)(x-7)+(x-4)(x-6)(x-7)+(x-4)(x-5)(x-7)+(x-4)(x-5)(x-6)
A equação original é equivalente a N(x)=0, pois o denominador D nunca zera para xneq4,5,6,7.

Passo 3

Repare que se definirmos o polinômio de quarto grau
F(x)=(x-4)(x-5)(x-6)(x-7),
então sua derivada é exatamente
F'(x)=sumi=4^7prodjneq i(x-j)=N(x)
Logo a condição N(x)=0 equivale a resolver
F'(x)=0

Passo 4

Para simplificar o cálculo de F'(x)=0, fazemos a troca de variável
y=x-5.5,
pois os fatores ficam centralizados em zero:
F(y)=(y+1.5)(y+0.5)(y-0.5)(y-1.5)=(y^2-0.25)(y^2-2.25)=y^4-2.5y^2+0.5625
Derivando em relação a y (que é o mesmo que derivar em x), temos
F'(y)=4y^3-5y

Passo 5

Basta agora resolver
4y^3-5y=0
que fatorando dá
y(4y^2-5)=0
portanto
y=0, y=pmraiz52
Voltando a x=y+5.5, obtemos as soluções

Passo 6

x=5.5, x=5.5pmtfracraiz52.

Resposta

xintfrac112,;tfrac11+raiz52,;tfrac11-raiz52

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