Seja x=raiz[3]4+raiz[3]2+raiz[3]1. Calcule 3x+3x^2+1x^3.
(Resp: 1)

Passo 1

O enunciado nos dá x = raiz[3]4 + raiz[3]2 + raiz[3]1. O objetivo é calcular 3x + 3x^2 + 1x^3. O conteúdo envolve propriedades de radicais, fatorações e identidades algébricas.

Passo 2

Para simplificar, definimos a = raiz[3]2. Assim, raiz[3]4 = a^2 e raiz[3]1 = 1, logo
x = a^2 + a + 1

Passo 3

Observamos a fatoração
a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1)

Passo 4

Como a^3 = 2, temos a^3 - 1 = 1, então
(a - 1)(a^2 + a + 1) = 1 implies 1x = a - 1

Passo 5

Definimos t = 1x = a - 1. A expressão que queremos é
3t + 3t^2 + t^3

Passo 6

Repare que
3t + 3t^2 + t^3 = (t+1)^3 - 1

Passo 7

Como t+1 = a, temos (t+1)^3 = a^3 = 2. Logo
(t+1)^3 - 1 = 2 - 1 = 1

Resposta

1

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