Sejam
l x=(2+raiz3)^2003+(2-raiz3)^20032 y=(2+raiz3)^2003-(2-raiz3)^2003raiz3
Calcule o valor de 4 x^2-3 y^2.
(Resp: 4)

Passo 1

O enunciado nos dá duas expressões envolvendo potências de 2+raiz3 e 2-raiz3 para definir x e y, e pede o valor de 4x^2-3y^2. O conteúdo aqui é manipulação de números da forma alpha=2+raiz3 e beta=2-raiz3, explorando suas propriedades para simplificar combinações quadráticas.

Passo 2

Definimos alpha=2+raiz3 e beta=2-raiz3. Observe que
alpha+beta=4, alphabeta=(2+raiz3)(2-raiz3)=1

Passo 3

Agora introduzimos as sequências
an=alpha^n+beta^n, bn=alpha^n-beta^nraiz3

Passo 4

Pelos enunciados temos
x=alpha^2003+beta^20032=a20032, y=alpha^2003-beta^2003raiz3=b2003

Passo 5

Queremos então
4x^2-3y^2=4l(a20032r)^2-3l(b2003r)^2 =a2003^2-3b2003^2

Passo 6

Para todo n, calculemos
an^2-3bn^2=(alpha^n+beta^n)^2-3l(alpha^n-beta^nraiz3r)^2
Expandindo,
(alpha^n+beta^n)^2-(alpha^n-beta^n)^2=4alpha^nbeta^n=4(alphabeta)^n=4cdot1^n=4

Passo 7

Portanto para n=2003 também vale
a2003^2-3b2003^2=4

Resposta

4

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