Sejam x, y in R não nulos e distintos tais que llx^2 & =2023 x+y y^2 & =2023 y+x. Calcule o valor de raizx^2+y^2+1.
(Resp: 2023)

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema simétrico em duas variáveis reais não nulas e distintas:
x^2=2023x+y
y^2=2023y+x
Precisamos calcular raizx^2+y^2+1. Para resolver isso vamos usar técnicas de soma e diferença de equações em sistemas simétricos.

Passo 2

Para descobrir x+y, subtraímos a segunda equação da primeira:
x^2-y^2 ,=, (2023x+y)-(2023y+x)
No lado esquerdo aplicamos a diferença de quadrados:
(x-y)(x+y)
No direito:
2023x+y-2023y-x =2023(x-y)-(x-y)=(x-y)(2023-1)=(x-y),2022
Como xneq y, podemos dividir por (x-y) e obter
x+y=2022 .

Passo 3

Agora somamos as duas equações originais:
x^2+y^2 = (2023x+y)+(2023y+x) =2023(x+y)+(x+y)=(2023+1)(x+y)=2024(x+y)
Como já sabemos que x+y=2022, segue que
x^2+y^2=2024times 2022

Passo 4

Para chegar em raizx^2+y^2+1, somamos 1 ao resultado:
x^2+y^2+1 =2024times 2022 +1
Repare que
2023^2=(2022+1)^2=2022^2+2times2022+1=2022(2022+2)+1=2022times2024+1,
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x^2+y^2+1=2023^2

Passo 5

Basta extrair a raiz quadrada para concluir que
raizx^2+y^2+1=2023

Resposta

2023

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