Seja \bar{X}=\frac{\sum_{j=1}^{n} x_{j}}{n} a média aritmética e S^{2}=\frac{1}{n-1}\left[\sum_{j=1}^{n} x_{j}^{2}-\frac{\left(\sum_{j=1}^{n} x_{j}\right)^{2}}{n}\right] a variância.
Dado o conjunto de dados X=\{2,4,5,9,3,7\} calcule:
a variância.

Passo 1

O enunciado nos dá a amostra \{2,4,5,9,3,7\}
e pede a variância amostral S^2, definida por
S^2 = \frac{1}{n-1}\Biggl[\sum_{j=1}^{n}x_j^2 \;-\;\frac{\bigl(\sum_{j=1}^{n}x_j\bigr)^{2}}{n}\Biggr].
Para resolver, precisamos calcular n, \sum x_j e \sum x_j^2.

Passo 2

Calculemos os valores necessários:
n = 6,\quad \sum_{j=1}^{6}x_j = 2+4+5+9+3+7 = 30,\quad \sum_{j=1}^{6}x_j^2 = 2^2+4^2+5^2+9^2+3^2+7^2 = 184.

Passo 3

Avaliamo o termo dentro dos colchetes:
\sum_{j=1}^{n}x_j^2 \;-\;\frac{\bigl(\sum_{j=1}^{n}x_j\bigr)^{2}}{n} = 184 \;-\;\frac{30^2}{6} = 184 - 150 = 34.

Passo 4

Finalmente, dividimos por n-1 = 5:
S^2 = \frac{34}{5} = 6,8.

Resposta

A variância amostral é 6,8.

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