Seja
a média de uma amostra aleatória de tamanho 75 com a seguinte função densidade
. Calcule um valor aproximado para a seguinte probabilidade
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que foi pedido. A questão diz que temos uma amostra de tamanho
de uma distribuição contínua com densidade
ou seja, é uma variável uniforme no intervalo
. Chamamos de
a média dessa amostra. A tarefa é estimar
Conteúdo envolvido: Teorema Central do Limite (TCL) e propriedades da média amostral. Para resolver, vamos precisar conhecer a média e a variância de uma
e depois aplicar o TCL para aproximar
por uma normal.
Passo 2
Primeiro, a teoria da distribuição uniforme no intervalo
:
- A média (esperança) é
- A variância é
Isso vale para cada variável
da amostra.
Passo 3
Agora, a média amostral
. Pelo Teorema Central do Limite, quando
é grande,
se comporta aproximadamente como uma normal com
Logo o desvio-padrão de
é
Passo 4
Queremos
Padronizando, definimos a variável
e fazemos
Então
Calculemos os limites:
Fica
Passo 5
Na tabela da normal padrão, ou usando uma calculadora, sabemos
Logo
Resposta
A estimativa aproximada é