Seja barX a média de uma amostra aleatória de tamanho 75 com a seguinte função densidade f(x)=I(0,1)(x). Calcule um valor aproximado para a seguinte probabilidade P(0.45.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que foi pedido. A questão diz que temos uma amostra de tamanho f(x)=I(0,1)(x), de uma distribuição contínua com densidade
Pl(0.45
ou seja, é uma variável uniforme no intervalo . Chamamos de a média dessa amostra. A tarefa é estimar
Conteúdo envolvido: Teorema Central do Limite (TCL) e propriedades da média amostral. Para resolver, vamos precisar conhecer a média e a variância de uma e depois aplicar o TCL para aproximar por uma normal.

Passo 2

Primeiro, a teoria da distribuição uniforme no intervalo mu = E[X] = 0+12 = 0.5 :
  • A média (esperança) é sigma^2 = Var(X) = (1-0)^212 = 112
  • A variância é
Isso vale para cada variável da amostra.

Passo 3

Agora, a média amostral E[bar X] = mu = 0.5, Var(bar X) = sigma^2n = 1/1275 = 1900 . Pelo Teorema Central do Limite, quando sigmabar X = raiz1900 = 130 é grande, se comporta aproximadamente como uma normal com
Logo o desvio-padrão de é

Passo 4

Queremos
Pl(0.45
Padronizando, definimos a variável Z = bar X - 0.51/30 e fazemos
P(0.45
Então
0.45-0.51/30 = -0.05times 30 = -1.5, 0.55-0.51/30 = +1.5
Calculemos os limites:
P(-1.5
Fica

Passo 5

Na tabela da normal padrão, ou usando uma calculadora, sabemos
Phi(1.5)approx 0.9332, Phi(-1.5)=1-Phi(1.5)approx 0.0668
Logo
P(-1.5

Resposta

A estimativa aproximada é
boxedP(0.45

Exercícios relacionados