Seja Xi uma v.a. com distribuicao N(i i^2), i=1,2,3. Suponha que as v.a.s X1, X2 e X3 são independentes. Usando apenas as v.a.s X1, X2 e X3 :
Dê um exemplo de uma estatística que tenha distribuição chi3^2;

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos três variáveis aleatórias independentes
,
e
.
O objetivo é usar só essas três variáveis para construir uma estatística que siga .
Conteúdo: teoria de distribuição de Normais e transformação em qui-quadrado.

Passo 2

Primeiro, lembra que se Zi ;=;Xi - muisigmai, então .
Logo, nossa ideia é transformar cada num padrão . Para isso a gente “padroniza”:
onde é a média de e é o desvio padrão. Aqui e .

Passo 3

Aplicando:
Z1 = X1 - 11, Z2 = X2 - 22, Z3 = X3 - 33
Cada é e, por independência, são independentes.

Passo 4

Agora, usando a propriedade que a soma de quadrados de T = Z1^2 + Z2^2 + Z3^2 normais padrão independentes é , definimos
Como temos 3 termos, .

Resposta

Um exemplo de estatística com distribuição T ;=;gl(X1-11gr)^!2 ;+;gl(X2-22gr)^!2 ;+;gl(X3-33gr)^!2 ;sim;chi^23 é

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