Um pesquisador deseja estimar a média de uma população usando uma amostra grande o suficiente tal que temos probabilidade de 0.95 para que a média amostral não difira da média populacional por mais de 25 % do desvio padrão. Qual deve ser o tamanho da amostra?

Passo 1

O enunciado diz que um pesquisador quer escolher um tamanho de amostra grande o suficiente para que, com 95% de confiança, a média amostral não difira da média populacional em mais de 25% do desvio‐padrão.
Conteúdo: estatística inferencial – intervalo de confiança para média, Teorema do Limite Central, margem de erro.
O que vamos usar:
• X̄ segue aproximadamente N(μ, σ²/n) para n grande.
• A margem de erro M = z₍α/2₎·(σ/√n).
• Valor crítico z₍0.975₎ ≈ 1,96 para 95% de confiança.

Passo 2

Pelo Teorema do Limite Central, para n grande, a média amostral X̄ é quase Normal de média μ e variância σ²/n. Então:
Pl(|bar X - mu|<= Mr)=0,95,
onde é a tolerância, aqui .

Passo 3

Em termos de z, essa probabilidade vira:
Pl(-z<= bar X-musigma/raiz n<= zr)=0,95
Isso significa , pois .

Passo 4

A margem de erro relaciona-se a n assim:
M = z;sigmaraiz n
Substituindo 0,25,sigma = 1,96;sigmaraiz n e 0,25 = 1,96raiz n Rightarrow raiz n = 1,960,25:
Podemos cancelar σ e isolar n:
$$0{,}25 = \frac{1{,}96}{\sqrt n}
\quad\Rightarrow\quad \sqrt n = \frac{1{,}96}{0{,}25}$$

Passo 5

Calcule raiz n = 1,960,25 = 7,84 Rightarrow n = 7,84^2 approx 61,47 e depois :
$$\sqrt n = \frac{1{,}96}{0{,}25} = 7{,}84
\quad\Rightarrow\quad n = 7{,}84^2 \approx 61{,}47$$
Como n tem que ser inteiro, arredondamos para cima:

Resposta

Você precisa de uma amostra de tamanho .

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