Um pesquisador deseja estimar a média de uma população usando uma amostra grande o suficiente tal que temos probabilidade de 0.95 para que a média amostral não difira da média populacional por mais de
do desvio padrão. Qual deve ser o tamanho da amostra?
Passo 1
O enunciado diz que um pesquisador quer escolher um tamanho de amostra grande o suficiente para que, com 95% de confiança, a média amostral não difira da média populacional em mais de 25% do desvio‐padrão.
Conteúdo: estatística inferencial – intervalo de confiança para média, Teorema do Limite Central, margem de erro.
O que vamos usar:
• X̄ segue aproximadamente N(μ, σ²/n) para n grande.
• A margem de erro M = z₍α/2₎·(σ/√n).
• Valor crítico z₍0.975₎ ≈ 1,96 para 95% de confiança.
Conteúdo: estatística inferencial – intervalo de confiança para média, Teorema do Limite Central, margem de erro.
O que vamos usar:
• X̄ segue aproximadamente N(μ, σ²/n) para n grande.
• A margem de erro M = z₍α/2₎·(σ/√n).
• Valor crítico z₍0.975₎ ≈ 1,96 para 95% de confiança.
Passo 2
Pelo Teorema do Limite Central, para n grande, a média amostral X̄ é quase Normal de média μ e variância σ²/n. Então:
onde
Passo 3
Em termos de z, essa probabilidade vira:
Isso significa
Passo 4
A margem de erro relaciona-se a n assim:
Substituindo
Podemos cancelar σ e isolar n:
$$0{,}25 = \frac{1{,}96}{\sqrt n}
\quad\Rightarrow\quad \sqrt n = \frac{1{,}96}{0{,}25}$$
Passo 5
Calcule
e depois
:
$$\sqrt n = \frac{1{,}96}{0{,}25} = 7{,}84
\quad\Rightarrow\quad n = 7{,}84^2 \approx 61{,}47$$
Como n tem que ser inteiro, arredondamos para cima:
Como n tem que ser inteiro, arredondamos para cima:
Resposta
Você precisa de uma amostra de tamanho
.