Seja uma base de E^3. Dado um vetor u, mostre que existe uma única tripla ordenada (a, b, c) de números reais tais que
u=(a, b, c)E
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, sendo E=e1,e2,e3 uma base de E^3, dado qualquer vetor uinE^3 existe uma única tripla ordenada (a,b,c)inR^3 tal que
u = (a,b,c)E equiv a,e1+b,e2+c,e3
Para isso vamos usar que base é, por definição, um conjunto gerador (existência) e linearmente independente (unicidade).
Passo 2
(Prova de existência)
Como E é geradora de E^3, todo vetor uinE^3 pode ser escrito como combinação linear de e1,e2,e3. Logo existem escalares a,b,cinR tais que
u = a,e1 + b,e2 + c,e3
Passo 3
(Prova de unicidade)
Suponha que existam duas representações
u = a,e1 + b,e2 + c,e3 e u = a',e1 + b',e2 + c',e3
Subtraindo-as, obtemos
0 = (a - a'),e1 + (b - b'),e2 + (c - c'),e3
Como E é linearmente independente, a única combinação linear que dá o vetor zero é a trivial, ou seja
a - a' = 0, b - b' = 0, c - c' = 0,
logo a=a', b=b' e c=c'. Isso prova a unicidade dos coeficientes.
Resposta
Como E é geradora, existe (a,b,c) tal que u=ae1+be2+ce3, e como E é linearmente independente, esses coeficientes são únicos. Portanto existe uma única tripla (a,b,c)inR^3 com u=(a,b,c)E.