Seja E uma base de E^3. Mostre que u=(x1, y1, z1)E, v=(x2, y2, z2)E e w=(x3, y3, z3)E são LI se, e somente se,
|lll x1 & y1 & z1 x2 & y2 & z2 x3 & y3 & z3 | neq 0

Passo 1

O enunciado pede provar que, dadas as coordenadas de
vec u=(x1,y1,z1) E,
vec v=(x2,y2,z2) E e
vec w=(x3,y3,z3) E em E^3, tem-se
vec u,vec v,vec w linearmente independentes se, e somente se,
det x1 & y1 & z1 x2 & y2 & z2 x3 & y3 & z3 neq0
Para isso usaremos a definição de independência linear, a tradução em sistema homogêneo e a propriedade de determinante.

Passo 2

Por definição, vec u,vec v,vec w são LI se a única solução do vetor nulo
alpha,vec u+beta,vec v+gamma,vec w=vec0
é alpha=beta=gamma=0.
Em coordenadas isso gera o sistema homogêneo
alpha,x1+beta,x2+gamma,x3=0, alpha,y1+beta,y2+gamma,y3=0, alpha,z1+beta,z2+gamma,z3=0

Passo 3

Esse sistema pode ser escrito como
M alphabetagamma =000,
onde
M= x1&x2&x3 y1&y2&y3 z1&z2&z3
Note que a matriz do enunciado é M^T, mas vale det M=det M^T.

Passo 4

Do teorema de sistemas lineares, o homogêneo Mvec t=vec0 só tem solução trivial vec t=(0,0,0) se, e somente se, det Mneq0.
Logo
vec u,vec v,vec w LI ;Long<=ftrightarrow; det Mneq0 ;Long<=ftrightarrow; det M^Tneq0

Resposta

Mostrou-se que vec u,vec v,vec w são linearmente independentes se, e somente se,
det x1 & y1 & z1 x2 & y2 & z2 x3 & y3 & z3 neq0

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