Seja uma base de . Mostre que e são LI se, e somente se,
Passo 1
O enunciado pede provar que, dadas as coordenadas de vec u=(x1,y1,z1) E, vec v=(x2,y2,z2) E e vec w=(x3,y3,z3) E em E^3, tem-se vec u,vec v,vec w linearmente independentes se, e somente se,
det x1 & y1 & z1 x2 & y2 & z2 x3 & y3 & z3 neq0
Para isso usaremos a definição de independência linear, a tradução em sistema homogêneo e a propriedade de determinante.
Passo 2
Por definição, vec u,vec v,vec w são LI se a única solução do vetor nulo
alpha,vec u+beta,vec v+gamma,vec w=vec0
é alpha=beta=gamma=0.
Em coordenadas isso gera o sistema homogêneo