Crie e resolva: Elabore um enunciado de uma questão e resolva a questão que você elaborou.

Passo 1

O enunciado cria a matriz
A = 2 & 1 & 0 1 & 2 & 1 0 & 1 & 2
e pede para determinar os valores próprios (autovalores) e um conjunto de vetores próprios normalizados de A. O conteúdo da matéria é Álgebra Linear, especificamente cálculo de autovalores e autovetores de matrizes simétricas.

Passo 2

Para achar os autovalores de A, montamos o polinômio característico
det(A - lambda I) = 0
Como
A - lambda I = 2-lambda & 1 & 0 1 & 2-lambda & 1 0 & 1 & 2-lambda ,
calculamos o determinante por expansão na primeira linha:
det(A - lambda I) = (2-lambda)l[(2-lambda)^2 - 1r] - 1l[1cdot(2-lambda)-0r]

Passo 3

Continuando a simplificação,
det(A - lambda I) = (2-lambda)l[(2-lambda)^2 - 1r] - (2-lambda) = (2-lambda)l[(2-lambda)^2 - 1 - 1r] = (2-lambda)l[(2-lambda)^2 - 2r]
Assim o polinômio característico é
(2-lambda)l[(2-lambda)^2 - 2r]=0,
cujas raízes são
lambda1 = 2, (2-lambda)^2 = 2;Rightarrow; lambda2,3 = 2 pm raiz2

Passo 4

Agora achamos autovetores. Para , resolvemos
Dessas equações vem e , logo um autovetor livre é . Normalizando,
então um vetor próprio unitário é

Passo 5

Para , temos
Da primeira linha vem . Da segunda vem , isto é, . Escolhendo , obtemos . A norma desse vetor é
logo o vetor próprio unitário é

Passo 6

Para , repetimos o procedimento:
Da primeira linha vem . Da segunda, de novo . Tomando , cuja norma é . Assim o vetor unitário é

Resposta

Os autovalores de A são
lambda1 = 2, lambda2 = 2 + raiz2, lambda3 = 2 - raiz2
Um conjunto de autovetores unitários correspondentes é
u1 = l(tfrac1raiz2,,0,,-tfrac1raiz2r), u2 = l(tfrac12,,tfracraiz22,,tfrac12r), u3 = l(tfrac12,,-tfracraiz22,,tfrac12r)

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