Sejam os vetores u=(2,-3,2) e v=(-1,2,4) em R^3. [2 pontos]
para que valor de k o vetor (8,-14, k) é combinação linear de u e v ?

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em R^3, u=(2,-3,2) e v=(-1,2,4), e pergunta para qual valor de k o vetor (8,-14,k) fica no subespaço gerado por u e v. Isso significa achar escalares a e b tais que
au + bv = (8,-14,k),
e daí determinar k.

Passo 2

Escrevendo componente a componente, obtemos o sistema
2a - b = 8, -3a + 2b = -14, 2a + 4b = k

Passo 3

Das duas primeiras equações resolvemos a e b. Da primeira vem
b = 2a - 8
Substituindo na segunda:
-3a + 2(2a - 8) = -14 Longrightarrow -3a + 4a - 16 = -14 Longrightarrow a = 2
Logo
b = 2cdot 2 - 8 = -4

Passo 4

Com a=2 e b=-4, a terceira equação dá
k = 2a + 4b = 2cdot 2 + 4cdot(-4) = 4 - 16 = -12

Resposta

k = -12

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