• Questão 10: Seja
B=[lll 1 & 2 & 3 0 & 1 & 4 0 & 0 & 2 ]
Determine B^-1, caso exista

Passo 1

Então, a gente tem uma matriz B que é uma matriz triangular superior, ou seja, todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. A questão pede para a gente descobrir se essa matriz tem inversa, chamada de B^-1 , e se tiver, qual é essa inversa. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes invertíveis, determinantes e como calcular a inversa de uma matriz triangular.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a matriz B é invertível. Uma matriz quadrada é invertível se e somente se o seu determinante for diferente de zero. Como B é uma matriz triangular superior, o determinante dela é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 3

Vamos calcular o determinante de B :
det(B) = 1 times 1 times 2 = 2
Como o determinante é 2, que é diferente de zero, a matriz B é invertível.

Passo 4

Agora que sabemos que B tem inversa, vamos calcular B^-1 . Para uma matriz triangular superior, a inversa também será uma matriz triangular superior. Vamos encontrar os elementos da matriz inversa passo a passo.

Passo 5

A matriz B é:
B = 1 & 2 & 3 0 & 1 & 4 0 & 0 & 2
Vamos chamar a inversa de B^-1 de:
B^-1 = a & b & c 0 & d & e 0 & 0 & f

Passo 6

Sabemos que B times B^-1 = I , onde I é a matriz identidade:
I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Vamos multiplicar B por B^-1 e igualar aos elementos de I para encontrar os valores de a, b, c, d, e e f .

Passo 7

Fazendo a multiplicação:
B times B^-1 = 1 cdot a + 2 cdot 0 + 3 cdot 0 & 1 cdot b + 2 cdot d + 3 cdot 0 & 1 cdot c + 2 cdot e + 3 cdot f 0 cdot a + 1 cdot 0 + 4 cdot 0 & 0 cdot b + 1 cdot d + 4 cdot 0 & 0 cdot c + 1 cdot e + 4 cdot f 0 cdot a + 0 cdot 0 + 2 cdot 0 & 0 cdot b + 0 cdot d + 2 cdot 0 & 0 cdot c + 0 cdot e + 2 cdot f
Simplificando:
a & b + 2d & c + 2e + 3f 0 & d & e + 4f 0 & 0 & 2f = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 8

Agora, igualamos os elementos correspondentes:
  1. a = 1
  2. b + 2d = 0
  3. c + 2e + 3f = 0
  4. d = 1
  5. e + 4f = 0
  6. 2f = 1

Passo 9

Vamos resolver essas equações passo a passo:
  • Da equação 6: 2f = 1 Rightarrow f = 12
  • Da equação 5: e + 4 times 12 = 0 Rightarrow e + 2 = 0 Rightarrow e = -2
  • Da equação 2: b + 2 times 1 = 0 Rightarrow b + 2 = 0 Rightarrow b = -2
  • Da equação 3: c + 2 times (-2) + 3 times 12 = 0 Rightarrow c - 4 + 1.5 = 0 Rightarrow c - 2.5 = 0 Rightarrow c = 2.5

Passo 10

Agora temos todos os valores:
a = 1, b = -2, c = 2.5, d = 1, e = -2, f = 12
Portanto, a matriz inversa B^-1 é:
B^-1 = 1 & -2 & 2.5 0 & 1 & -2 0 & 0 & 12

Resposta

A inversa da matriz B é:
B^-1 = 1 & -2 & dfrac52 0 & 1 & -2 0 & 0 & dfrac12

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