Seja:
Calcule
e
em todos os pontos do plano. f é contínua em ( 0,0 )?
e
sao contínuas em
?
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
As perguntas são:
- Calcular as derivadas parciais
e para todos os pontos do plano (isto é, para e também em ). - Verificar se
é contínua em . - Verificar se
e são contínuas em .
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de
fora da origem e o valor em
.
Passo 2
Derivadas parciais para
— uso da regra do quociente.
Vamos escrever
e
. Para
,
A regra do quociente para derivada parcial diz:
Aqui
e
. Aplicando:
Agora expandir e simplificar o numerador:
Portanto, para
,
De forma análoga, a regra do quociente para
usa
e
. Assim
Expandindo o numerador:
Portanto, para
,
Passo 3
Derivadas parciais no ponto
pela definição (limite de diferença incremental).
Definição:
e
, se esses limites existirem.
Calcular
. Para
,
Então
O limite quando
é
. Logo
Calcular
. Para
,
Então
O limite quando
é
. Logo
Passo 4
Continuidade de
em
.
Definição lembrando:
é contínua em
se
.
Usar coordenadas polares para analisar o limite: escreva
,
com
. Para
,
Para qualquer
,
. Então
Como
quando
, concluímos que
. Portanto
é contínua em
.
Passo 5
Continuidade das derivadas parciais em
.
Queremos ver se
quando
e se
.
Usar novamente coordenadas polares para estudar o comportamento angular dependente das expressões obtidas no Passo 2. Substituindo
,
nas fórmulas para
:
Para
,
Logo
Esta expressão depende apenas de
, não de
. Portanto, quando
(isto é,
), o valor de
tende para um valor que depende do ângulo
de aproximação. Por exemplo:
- Para
(aproximação ao longo do eixo positivo), e
- Para
(aproximação ao longo do eixo positivo), e
Como esses limites angulares são diferentes, não existe um limite único para
quando
. Logo
não é contínua em
.
Agora para
, usando a forma simplificada do Passo 2:
obtido dividindo por
como antes. Esta expressão também depende apenas de
. Tomando ângulos:
- Para
( eixo ), e
que coincide com
.
- Para
( eixo ), e
que é diferente de
.
Portanto
também não tem um único limite quando
e, assim, não é contínua em
.
Passo 6
Resumo das conclusões (para fixar bem):
- As expressões das derivadas parciais para
são as do Passo 2. - As derivadas parciais em
existem e valem e respectivamente (Passo 3). - A função
é contínua em (Passo 4). - As funções
e não são contínuas em (Passo 5).