Seja:
\begin{aligned} & \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\left(\mathrm{x}^{3}-\mathrm{y}^{3}\right) /\left(\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}\right), \text { se }(\mathrm{x}, \mathrm{y}) \neq(0,0) \\\ & \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=0, \text { se }(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(0,0) \end{aligned}
Calcule \mathrm{df} / \mathrm{dx}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) e \mathrm{df} / \mathrm{dy}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) em todos os pontos do plano. f é contínua em ( 0,0 )? \mathrm{df} / \mathrm{dx}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) e d f / d y(x, y) sao contínuas em (0,0) ?

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por
f(x,y)=\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\quad\text{se }(x,y)\neq(0,0),
f(0,0)=0.
As perguntas são:
  • Calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) para todos os pontos do plano (isto é, para (x,y)\neq(0,0) e também em (0,0)).
  • Verificar se f é contínua em (0,0).
  • Verificar se \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} são contínuas em (0,0).
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de f fora da origem e o valor em (0,0).

Passo 2

Derivadas parciais para (x,y)\neq(0,0) — uso da regra do quociente.
Vamos escrever N(x,y)=x^{3}-y^{3} e D(x,y)=x^{2}+y^{2}. Para (x,y)\neq(0,0),
f(x,y)=\frac{N(x,y)}{D(x,y)}.
A regra do quociente para derivada parcial diz:
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{N}{D}\right)=\frac{\frac{\partial N}{\partial x}\,D - N\,\frac{\partial D}{\partial x}}{D^{2}}.
Aqui \frac{\partial N}{\partial x}=3x^{2} e \frac{\partial D}{\partial x}=2x. Aplicando:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\frac{3x^{2}(x^{2}+y^{2})-(x^{3}-y^{3})\cdot 2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Agora expandir e simplificar o numerador:
3x^{2}(x^{2}+y^{2})-2x(x^{3}-y^{3}) =3x^{4}+3x^{2}y^{2}-2x^{4}+2x y^{3} = x^{4}+3x^{2}y^{2}+2x y^{3}.
Portanto, para (x,y)\neq(0,0),
\boxed{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{x^{4}+3x^{2}y^{2}+2x y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.}
De forma análoga, a regra do quociente para \partial/\partial y usa \frac{\partial N}{\partial y}=-3y^{2} e \frac{\partial D}{\partial y}=2y. Assim
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\frac{-3y^{2}(x^{2}+y^{2})-(x^{3}-y^{3})\cdot 2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Expandindo o numerador:
-3y^{2}(x^{2}+y^{2})-2y(x^{3}-y^{3}) =-3x^{2}y^{2}-3y^{4}-2x^{3}y+2y^{4} =-(2x^{3}y+3x^{2}y^{2}+y^{4}).
Portanto, para (x,y)\neq(0,0),
\boxed{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-\frac{2x^{3}y+3x^{2}y^{2}+y^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.}

Passo 3

Derivadas parciais no ponto (0,0) pela definição (limite de diferença incremental).
Definição: \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(h,0)-f(0,0)}{h} e \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(0,h)-f(0,0)}{h}, se esses limites existirem.
Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0). Para h\neq 0,
f(h,0)=\frac{h^{3}-0}{h^{2}+0}=h.
Então
\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{h-0}{h}=1.
O limite quando h\to 0 é 1. Logo
\boxed{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=1.}
Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0). Para h\neq 0,
f(0,h)=\frac{0-h^{3}}{0+h^{2}}=-h.
Então
\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=\frac{-h-0}{h}=-1.
O limite quando h\to 0 é -1. Logo
\boxed{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=-1.}

Passo 4

Continuidade de f em (0,0).
Definição lembrando: f é contínua em (0,0) se \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=0.
Usar coordenadas polares para analisar o limite: escreva x=r\cos\theta, y=r\sin\theta com r\ge 0. Para (x,y)\neq(0,0),
f(x,y)=\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}} =\frac{r^{3}(\cos^{3}\theta-\sin^{3}\theta)}{r^{2}}=r\big(\cos^{3}\theta-\sin^{3}\theta\big).
Para qualquer \theta, |\cos^{3}\theta-\sin^{3}\theta|\le|\cos^{3}\theta|+|\sin^{3}\theta|\le 2. Então
|f(x,y)|\le 2r.
Como r\to 0 quando (x,y)\to(0,0), concluímos que f(x,y)\to 0. Portanto f é contínua em (0,0).

Passo 5

Continuidade das derivadas parciais em (0,0).
Queremos ver se \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)\to \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=1 quando (x,y)\to(0,0) e se \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)\to -1.
Usar novamente coordenadas polares para estudar o comportamento angular dependente das expressões obtidas no Passo 2. Substituindo x=r\cos\theta, y=r\sin\theta nas fórmulas para (x,y)\neq(0,0):
Para \partial f/\partial x,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\frac{x^{4}+3x^{2}y^{2}+2x y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{r^{4}\big(\cos^{4}\theta+3\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta+2\cos\theta\sin^{3}\theta\big)}{r^{4}}.
Logo
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \cos^{4}\theta+3\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta+2\cos\theta\sin^{3}\theta.
Esta expressão depende apenas de \theta, não de r. Portanto, quando (x,y)\to(0,0) (isto é, r\to 0), o valor de \partial f/\partial x tende para um valor que depende do ângulo \theta de aproximação. Por exemplo:
  • Para \theta=0 (aproximação ao longo do eixo x positivo), \cos\theta=1,\sin\theta=0 e
\frac{\partial f}{\partial x}\to 1.
  • Para \theta=\tfrac{\pi}{2} (aproximação ao longo do eixo y positivo), \cos\theta=0,\sin\theta=1 e
\frac{\partial f}{\partial x}\to 0.
Como esses limites angulares são diferentes, não existe um limite único para \partial f/\partial x(x,y) quando (x,y)\to(0,0). Logo \partial f/\partial x não é contínua em (0,0).
Agora para \partial f/\partial y, usando a forma simplificada do Passo 2:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =-\big(2\cos^{3}\theta\sin\theta+3\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta+\sin^{4}\theta\big),
obtido dividindo por r^{4} como antes. Esta expressão também depende apenas de \theta. Tomando ângulos:
  • Para \theta=\tfrac{\pi}{2} ( x=0 eixo y), \cos\theta=0,\sin\theta=1 e
\frac{\partial f}{\partial y}\to -1,
que coincide com \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=-1.
  • Para \theta=0 ( y=0 eixo x), \cos\theta=1,\sin\theta=0 e
\frac{\partial f}{\partial y}\to 0,
que é diferente de -1.
Portanto \partial f/\partial y também não tem um único limite quando (x,y)\to(0,0) e, assim, não é contínua em (0,0).

Passo 6

Resumo das conclusões (para fixar bem):
  • As expressões das derivadas parciais para (x,y)\neq(0,0) são as do Passo 2.
  • As derivadas parciais em (0,0) existem e valem 1 e -1 respectivamente (Passo 3).
  • A função f é contínua em (0,0) (Passo 4).
  • As funções (x,y)\mapsto \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) e (x,y)\mapsto \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) não são contínuas em (0,0) (Passo 5).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{x^{4}+3x^{2}y^{2}+2x y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} para (x,y)\neq(0,0).\newline
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-\frac{2x^{3}y+3x^{2}y^{2}+y^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} para (x,y)\neq(0,0).\newline
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=1.\newline
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=-1.\newline
f é contínua em (0,0).\newline
\dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} NÃO são contínuas em (0,0).

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