Seja a função f(x, y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right). Calcule f_xyy.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\ln\!\left(x^{2}+y^{2}\right) e pede o derivada mista de terceira ordem f_{xyy}.
Interpretação da notação: aqui vou entender f_{xyy} como a derivada obtida aplicando primeiro \partial/\partial x e depois duas vezes \partial/\partial y, ou seja
f_{xyy}=\frac{\partial^{3} f}{\partial y^{2}\partial x},
seguindo a ordem indicada pelos subscritos (primeiro x, depois y e y). Vou calcular passo a passo sem pular etapas.

Passo 2

Primeiro calculemos f_{x} (derivada parcial de f em relação a x).
Regra que usamos: se f(x,y)=\ln(u(x,y)) então, por regra da cadeia,
\frac{\partial}{\partial x}\ln(u)=\frac{1}{u}\frac{\partial u}{\partial x}.
Aqui u(x,y)=x^{2}+y^{2}. Então
\frac{\partial u}{\partial x}=2x.
Portanto
f_{x}=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\cdot 2x=\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 3

Agora calculamos f_{xy}, que é \partial/\partial y de f_{x}. Temos
f_{x}=\;2x\,(x^{2}+y^{2})^{-1}.
Tratando x como constante ao derivar em relação a y, aplicamos a regra do produto (ou simplesmente a regra da cadeia sobre a potência):
Derivada de (x^{2}+y^{2})^{-1} em relação a y é
-1\cdot (x^{2}+y^{2})^{-2}\cdot \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2}) =-1\cdot (x^{2}+y^{2})^{-2}\cdot 2y=-\frac{2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Multiplicando por 2x obtemos
f_{xy}=2x\cdot\left(-\frac{2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\right)=-\frac{4xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 4

Agora calculamos f_{xyy}=\partial/\partial y\big(f_{xy}\big). Escrevemos
f_{xy}=-4x\; y\;(x^{2}+y^{2})^{-2}.
Aqui -4x é constante relativamente a y. Aplique a regra do produto para g(y)=y\,(x^{2}+y^{2})^{-2}:
\frac{d}{dy}\big[y\,(x^{2}+y^{2})^{-2}\big] =1\cdot (x^{2}+y^{2})^{-2}+y\cdot \frac{d}{dy}\big((x^{2}+y^{2})^{-2}\big).
Calculamos a segunda derivada interna usando a cadeia:
\frac{d}{dy}\big((x^{2}+y^{2})^{-2}\big) =-2\,(x^{2}+y^{2})^{-3}\cdot \frac{d}{dy}(x^{2}+y^{2}) =-2\,(x^{2}+y^{2})^{-3}\cdot 2y =-\frac{4y}{(x^{2}+y^{2})^{3}}.
Substituindo em g'(y):
g'(y)=(x^{2}+y^{2})^{-2}+y\left(-\frac{4y}{(x^{2}+y^{2})^{3}}\right) =\frac{1}{(x^{2}+y^{2})^{2}}-\frac{4y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3}}.
Multiplicando pelo fator constante -4x obtemos
f_{xyy}=-4x\left(\frac{1}{(x^{2}+y^{2})^{2}}-\frac{4y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3}}\right).
Agora simplificamos escrevendo sobre o denominador comum (x^{2}+y^{2})^{3}:
f_{xyy}=\frac{-4x\,(x^{2}+y^{2})+16x y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3}} =\frac{4x\big(-x^{2}-y^{2}+4y^{2}\big)}{(x^{2}+y^{2})^{3}}.
Simplificando o numerador:
-x^{2}-y^{2}+4y^{2}=-x^{2}+3y^{2},
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f_{xyy}=\frac{4x\,(3y^{2}-x^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{3}}.

Passo 5

Prontinho — chegamos ao resultado final. Dá para checar rapidamente que a expressão tem a ordem de homogeneidade correta (grau 1 em x no numerador e grau 6 no denominador totalizado pela potência), e que a função original é suave em todo ponto com x^{2}+y^{2}>0, então essas derivadas fazem sentido ali.

Resposta

f_{xyy}=\frac{4x\,(3y^{2}-x^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{3}}

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