Seja a função
. Calcule f_xyy.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o derivada mista de terceira ordem
.
Interpretação da notação: aqui vou entender
como a derivada obtida aplicando primeiro
e depois duas vezes
, ou seja
seguindo a ordem indicada pelos subscritos (primeiro
, depois
e
). Vou calcular passo a passo sem pular etapas.
Passo 2
Primeiro calculemos
(derivada parcial de
em relação a
).
Regra que usamos: se
então, por regra da cadeia,
Aqui
. Então
Portanto
Passo 3
Agora calculamos
, que é
de
. Temos
Tratando
como constante ao derivar em relação a
, aplicamos a regra do produto (ou simplesmente a regra da cadeia sobre a potência):
Derivada de
em relação a
é
Multiplicando por
obtemos
Passo 4
Agora calculamos
. Escrevemos
Aqui
é constante relativamente a
. Aplique a regra do produto para
:
Calculamos a segunda derivada interna usando a cadeia:
Substituindo em
:
Multiplicando pelo fator constante
obtemos
Agora simplificamos escrevendo sobre o denominador comum
:
Simplificando o numerador:
logo
Passo 5
Prontinho — chegamos ao resultado final. Dá para checar rapidamente que a expressão tem a ordem de homogeneidade correta (grau
em
no numerador e grau
no denominador totalizado pela potência), e que a função original é suave em todo ponto com
, então essas derivadas fazem sentido ali.