Sejam as proposições:
  • p: n é um número par.
  • q: n é múltiplo de 4 .
  • r: n é maior que 10.
  • s : n é menor ou igual a 20 .
Considerando o conjunto universo \mathbb{U}=\mathbb{Z}, determine o conjunto verdade das proposições:
(p \wedge r) \vee(q \wedge \neg s).

Passo 1

O enunciado dá as proposições (com o universo \mathbb{U}=\mathbb{Z}):
  • p: n é um número par.
  • q: n é múltiplo de 4.
  • r: n é maior que 10.
  • s: n é menor ou igual a 20.
O que se pede: determinar o conjunto verdade da proposição composta
(p \wedge r) \vee (q \wedge \neg s).
Ou seja, listar todos os inteiros n (ou descrever o conjunto) para os quais essa fórmula é verdadeira.

Passo 2

Explicando a ideia de conjunto verdade de uma proposição que depende de n: para uma propriedade P(n) define-se
V(P)=\{\,n\in\mathbb{Z}\mid P(n)\,\},
o conjunto de todos os inteiros que tornam P verdadeira. Para combinações lógicas vale:
  • V(P\wedge Q)=V(P)\cap V(Q).
  • V(P\vee Q)=V(P)\cup V(Q).
  • V(\neg P)=\mathbb{Z}\setminus V(P).
Vou aplicar isso ao nosso caso, passo a passo.

Passo 3

Primeiro identifiquemos os conjuntos verdade individuais dados pelas proposições simples:
  • V(p)=\{\,n\in\mathbb{Z}\mid n\text{ é par}\,\}=\{\,\dots,-4,-2,0,2,4,6,\dots\,\}.é
  • V(q)=\{\,n\in\mathbb{Z}\mid 4\mid n\,\}=\{\,\dots,-8,-4,0,4,8,12,\dots\,\}.
  • V(r)=\{\,n\in\mathbb{Z}\mid n>10\,\}=\{\,11,12,13,\dots\,\}.
  • V(s)=\{\,n\in\mathbb{Z}\mid n\le 20\,\}=\{\dots,18,19,20\}\cup\{\text{valores menores}\}.

Passo 4

Calculemos V(p\wedge r). Pelo item anterior,
V(p\wedge r)=V(p)\cap V(r)=\{\,n\in\mathbb{Z}\mid n\text{ é par e }n>10\,\}.é
Em forma explícita:
V(p\wedge r)=\{12,14,16,18,20,22,24,\dots\}.

Passo 5

Calculemos V(q\wedge \neg s). Primeiro V(\neg s)=\mathbb{Z}\setminus V(s)=\{\,n\in\mathbb{Z}\mid n>20\,\}.
Assim
V(q\wedge \neg s)=V(q)\cap V(\neg s)=\{\,n\in\mathbb{Z}\mid 4\mid n \text{ e } n>20\,\}.
Em forma explícita:
V(q\wedge \neg s)=\{24,28,32,36,\dots\}.

Passo 6

Agora a proposição inteira tem conjunto verdade dado pela união:
V\big((p\wedge r)\vee(q\wedge \neg s)\big)=V(p\wedge r)\cup V(q\wedge \neg s).
Mas note que todo elemento de V(q\wedge \neg s) é múltiplo de 4 e maior que 20; logo é par e maior que 10. Por isso qualquer n\in V(q\wedge \neg s) também pertence a V(p\wedge r). Em símbolos:
V(q\wedge \neg s)\subseteq V(p\wedge r).

Passo 7

Se V(q\wedge \neg s)\subseteq V(p\wedge r), então a união é simplesmente V(p\wedge r). Portanto
V\big((p\wedge r)\vee(q\wedge \neg s)\big)=V(p\wedge r)=\{\,n\in\mathbb{Z}\mid n\text{ é par e }n>10\,\}.é
Em lista crescente: \{12,14,16,18,20,22,\dots\}.

Resposta

\{\,n\in\mathbb{Z}\mid n\text{ é par e }n>10\,\}=\{12,14,16,18,20,22,\dots\}é

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