Sejam as proposições:
-
é um número par.
-
é múltiplo de 4 .
-
é maior que 10.
-
:
é menor ou igual a 20 .
Considerando o conjunto universo
, determine o conjunto verdade das proposições:
.
Passo 1
O enunciado dá as proposições (com o universo
):
-
é um número par. -
é múltiplo de . -
é maior que . -
é menor ou igual a .
O que se pede: determinar o conjunto verdade da proposição composta
Ou seja, listar todos os inteiros
(ou descrever o conjunto) para os quais essa fórmula é verdadeira.
Passo 2
Explicando a ideia de conjunto verdade de uma proposição que depende de
: para uma propriedade
define-se
o conjunto de todos os inteiros que tornam
verdadeira. Para combinações lógicas vale:
-
. -
. -
.
Vou aplicar isso ao nosso caso, passo a passo.
Passo 3
Primeiro identifiquemos os conjuntos verdade individuais dados pelas proposições simples:
Passo 4
Calculemos
. Pelo item anterior,
Em forma explícita:
Passo 5
Calculemos
. Primeiro
.
Assim
Assim
Em forma explícita:
Passo 6
Agora a proposição inteira tem conjunto verdade dado pela união:
Mas note que todo elemento de
é múltiplo de
e maior que
; logo é par e maior que
. Por isso qualquer
também pertence a
. Em símbolos:
Passo 7
Se
, então a união é simplesmente
. Portanto
Em lista crescente:
.