Seja
f(x)= \begin{cases}x^{2}-1, & x \leq 1 \\\\ 2 x-1, & x>1\end{cases}
Verifique se f é contínua em x=1.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)= \begin{cases} x^{2}-1, & x \leq 1,\\\\ 2x-1, & x>1, \end{cases}
e pede para verificar se ela é contínua em x=1. Para isso, lembramos que f é contínua em x=1 se, e somente se,
\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^+}f(x)=f(1).

Passo 2

Calcular a extensão à esquerda em x=1:
\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}(x^{2}-1)=1^{2}-1=0.

Passo 3

Calcular a extensão à direita em x=1:
\lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}(2x-1)=2\cdot1-1=1.

Passo 4

Avaliar o valor da função em x=1:
f(1)=1^{2}-1=0.

Passo 5

Comparando, temos \lim_{x\to1^-}f(x)=0 e \lim_{x\to1^+}f(x)=1, que são diferentes, logo o limite \lim_{x\to1}f(x) não existe e f não satisfaz a condição de continuidade em x=1.

Resposta

A função f não é contínua em x=1.

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