Determine, caso existam, as assíntotas horizontais do gráfico da função:
f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}-1}}

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas horizontais de
f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}-1}},
cujo domínio é (-\infty,-1]\cup[1,\infty). Para encontrar assíntotas horizontais, precisamos calcular \lim_{x\to+\infty}f(x) e \lim_{x\to-\infty}f(x).

Passo 2

Calcular \lim_{x\to+\infty}f(x). Note que para x\to+\infty temos \sqrt{x^2-1}=x\sqrt{1-\tfrac{1}{x^2}}. Então
f(x) =\frac{x+1}{x\sqrt{1-\tfrac{1}{x^2}}} =\frac{1+\tfrac{1}{x}}{\sqrt{1-\tfrac{1}{x^2}}}.
Ao levar x\to+\infty, os termos \tfrac{1}{x} e \tfrac{1}{x^2} vão a zero, logo
\lim_{x\to+\infty}f(x) =\frac{1+0}{\sqrt{1-0}} =1.

Passo 3

Calcular \lim_{x\to-\infty}f(x). Agora para x\to-\infty vale \sqrt{x^2-1}=-x\sqrt{1-\tfrac{1}{x^2}} pois -x>0. Assim
f(x) =\frac{x+1}{-x\sqrt{1-\tfrac{1}{x^2}}} =-\frac{1+\tfrac{1}{x}}{\sqrt{1-\tfrac{1}{x^2}}}.
Quando x\to-\infty, \tfrac{1}{x}\to0 e \tfrac{1}{x^2}\to0, e portanto
\lim_{x\to-\infty}f(x) =-\frac{1+0}{\sqrt{1-0}} =-1.

Resposta

A função tem as seguintes assíntotas horizontais: y=1 (quando x\to+\infty) y=-1 (quando x\to-\infty)

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