Resolva os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-3 x+2}{x^{3}-2 x^{2}+x-2}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x \to 2} \frac{x^{2}-3x+2}{x^{3}-2x^{2}+x-2}
Trata-se de um limite de função racional que gera a forma indeterminada \tfrac{0}{0} em x=2. Para resolver, vamos usar fatoração de polinômios e cancelar o fator que anula numerador e denominador.

Passo 2

Fatoramos o numerador x^{2}-3x+2. Procuramos duas raízes cuja soma seja 3 e produto 2, obtendo:
x^{2}-3x+2 = (x-1)(x-2).

Passo 3

Fatoramos o denominador x^{3}-2x^{2}+x-2. Agrupando termos:
x^{3}-2x^{2}+x-2 = x^{2}(x-2)+1\,(x-2) = (x^{2}+1)(x-2).

Passo 4

Substituindo as fatorações na fração original, temos
\frac{x^{2}-3x+2}{x^{3}-2x^{2}+x-2} = \frac{(x-1)(x-2)}{(x^{2}+1)(x-2)} = \frac{x-1}{x^{2}+1},
válido em todos os x\neq 2.

Passo 5

Agora que a indeterminação foi removida, basta substituir x=2:
\lim_{x\to2}\frac{x-1}{x^{2}+1} = \frac{2-1}{2^{2}+1} = \frac{1}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{5}

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