Pede
(a) os limites laterais em x=1,
(b) se o limite em x=1 existe,
(c) o esboço do gráfico de f.
Para (a) vamos aplicar a definição de limite lateral em cada ramo; para (b) comparamos esses valores; para (c) traçamos cada ramo e marcamos círculos abertos/fechados em x=1.
Passo 2
Cálculo de \displaystyle \lim_{x\to1^{-}}f(x). Como x<1 usamos
f(x)=x^2-2x+2.
Fazendo x\to1 obtemos
\lim_{x\to1^{-}}f(x)=1^2-2\cdot1+2=1-2+2=1.
Passo 3
Cálculo de \displaystyle \lim_{x\to1^{+}}f(x). Como x\ge1 usamos
esses valores são diferentes, logo não existe \lim_{x\to1}f(x).
Passo 5
Esboço do gráfico de f:
– Para x<1, a curva é a parábola y=x^2-2x+2. Ela tem vértice em x=1, y=1, mas esse ponto fica com círculo aberto em (1,1).
– Para x\ge1, o ramo é a reta y=3-x, que em x=1 vale y=2; esse ponto (1,2) é marcado com ponto fechado. A reta segue com coeficiente angular -1 para x>1.
Resposta
(a) \displaystyle \lim_{x\to1^{-}}f(x)=1, \displaystyle \lim_{x\to1^{+}}f(x)=2.
(b) Não existe \displaystyle \lim_{x\to1}f(x) (os limites laterais são diferentes).
(c) Gráfico formado pela parábola y=x^2-2x+2 para x<1 com círculo aberto em (1,1), e pela reta y=3-x para x\ge1 com ponto fechado em (1,2).