Seja beta=(1,2),(2,1) uma base de R^2. Use o processo de Gram-Schmidt para encontrar alpha uma base ortogonal em relação ao produto interno canônico e depois normalize alpha para encontrar uma base gamma ortonormal.

Passo 1

O enunciado nos dá a base beta=(1,2),(2,1) de R^2. Precisamos aplicar o processo de Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal alpha em relação ao produto interno canônico e, em seguida, normalizar alpha de modo a obter uma base ortonormal gamma.

Passo 2

Denotemos
v1 = (1,2), v2 = (2,1)
Pelo Gram–Schmidt, definimos
u1 = v1

Passo 3

Calculamos a projeção de v2 sobre u1:
proju1(v2) =v2cdot u1u1cdot u1,u1 =2cdot1+1cdot21^2+2^2,(1,2) =45,(1,2) =l(tfrac45,tfrac85r)
Então
u2 = v2 - proju1(v2) =(2,1)-l(tfrac45,tfrac85r) =l(tfrac65,-tfrac35r)
Logo
alpha=u1,u2 =l(1,2),;l(tfrac65,-tfrac35r)r
é uma base ortogonal.

Passo 4

Agora normalizamos cada vetor de alpha. Calculamos as normas:
|u1|=raiz1^2+2^2=raiz5, |u2| =raizl(tfrac65r)^2+l(-tfrac35r)^2 =raiz36+95 =3raiz55
Logo a base ortonormal é
gamma =ltfracu1|u1|,,tfracu2|u2|r =ll(tfrac1raiz5,tfrac2raiz5r),;l(tfrac2raiz5,-tfrac1raiz5r)r

Resposta

alpha=l(1,2),;l(tfrac65,-tfrac35r)r, gamma=ll(tfrac1raiz5,tfrac2raiz5r),;l(tfrac2raiz5,-tfrac1raiz5r)r

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