Q7: Seja
uma matrix
.
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se para algum
o sistema
tem solução única, então Núcleo
.
II - Se
tem solução única para todo
, então
.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se para algum
II - Se
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz
de tamanho
e pergunta sobre duas afirmações envolvendo existência e unicidade de soluções do sistema
. Precisaremos usar conceitos de núcleo (Ker), imagem, posto e as relações de dimensão para detectar quando há solução única e o que isso implica para
e
.
Passo 2
Analisando a afirmativa I: “Se para algum
o sistema
tem solução única, então
”.
- Se existe solução única, digamos
, então toda outra solução teria forma com . - A unicidade implica que não pode haver
tal que ; logo só resta .
Portanto I é verdadeira.
Passo 3
Analisando a afirmativa II: “Se
tem solução única para todo
, então
”.
- “Solução única para todo
” significa que é bijetora de em . - Bijetividade equivale a injetividade (
, força ) e sobrejetividade ( , força ). - Juntando
e obtemos .
Logo II também é verdadeira.
Passo 4
Como ambas as afirmações I e II são verdadeiras, a alternativa correta é (D).
Resposta
(D) Todas são verdadeiras.