Q7: Seja A uma matrix m \times n.
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se para algum \vec{b} \in \mathbb{R}^{m} o sistema A \vec{x}=\vec{b} tem solução única, então Núcleo A=\{\overrightarrow{0}\}.
II - Se A \vec{x}=\vec{b} tem solução única para todo \vec{b} \in \mathbb{R}^{m}, então m=n.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A de tamanho m\times n e pergunta sobre duas afirmações envolvendo existência e unicidade de soluções do sistema A\vec x=\vec b. Precisaremos usar conceitos de núcleo (Ker), imagem, posto e as relações de dimensão para detectar quando há solução única e o que isso implica para m e n.

Passo 2

Analisando a afirmativa I: “Se para algum \vec b\in\mathbb{R}^m o sistema A\vec x=\vec b tem solução única, então \mathrm{Ker}(A)=\{\vec 0\}”.
  • Se existe solução única, digamos \vec x_0, então toda outra solução teria forma \vec x_0+\vec v com \vec v\in\mathrm{Ker}(A).
  • A unicidade implica que não pode haver \vec v\neq\vec0 tal que A(\vec x_0+\vec v)=A\vec x_0; logo só resta \mathrm{Ker}(A)=\{\vec0\}.
    Portanto I é verdadeira.

Passo 3

Analisando a afirmativa II: “Se A\vec x=\vec b tem solução única para todo \vec b\in\mathbb{R}^m, então m=n”.
  • “Solução única para todo \vec b” significa que A é bijetora de \mathbb{R}^n em \mathbb{R}^m.
  • Bijetividade equivale a injetividade ( \mathrm{Ker}(A)=\{\vec0\}, força n\le m) e sobrejetividade ( \mathrm{Im}(A)=\mathbb{R}^m, força m\le n).
  • Juntando n\le m e m\le n obtemos m=n.
    Logo II também é verdadeira.

Passo 4

Como ambas as afirmações I e II são verdadeiras, a alternativa correta é (D).

Resposta

(D) Todas são verdadeiras.

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