Q13: O cosseno do ângulo entre os vetores (3,0,-4,0) e (3,4,0,0) é:
(A) -12 / 25
(B) 12 / 25
(C) 9 / 25
(D) -9 / 25

Passo 1

O enunciado pede o cosseno do ângulo entre os vetores \mathbf{u}=(3,0,-4,0) e \mathbf{v}=(3,4,0,0).
Informações dadas: as coordenadas de \mathbf{u} e de \mathbf{v}.
Pergunta explícita: calcular \cos\theta, onde \theta é o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v}.

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar: produto escalar (ou dot product). Para dois vetores em \mathbb{R}^n, \mathbf{a}=(a_1,\dots,a_n) e \mathbf{b}=(b_1,\dots,b_n), o produto escalar é definido por
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n.
Esse número é uma soma de produtos coordenada a coordenada. Vou aplicar isso diretamente aos vetores do enunciado.

Passo 3

Calcular o produto escalar \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}. Usando as coordenadas dadas,
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = 3\cdot 3 + 0\cdot 4 + (-4)\cdot 0 + 0\cdot 0.
Agora faço cada termo:
3\cdot 3 = 9,\quad 0\cdot 4 = 0,\quad (-4)\cdot 0 = 0,\quad 0\cdot 0 = 0.
Somando,
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = 9 + 0 + 0 + 0 = 9.

Passo 4

Segundo conceito: norma (comprimento) de um vetor. A norma euclidiana de \mathbf{a}=(a_1,\dots,a_n) é
\|\mathbf{a}\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}.
Isso mede o “tamanho” do vetor. Vou calcular \|\mathbf{u}\| e \|\mathbf{v}\|.

Passo 5

Calcular \|\mathbf{u}\| para \mathbf{u}=(3,0,-4,0):
\|\mathbf{u}\| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-4)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 0 + 16 + 0} = \sqrt{25} = 5.

Passo 6

Calcular \|\mathbf{v}\| para \mathbf{v}=(3,4,0,0):
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16 + 0 + 0} = \sqrt{25} = 5.

Passo 7

Fórmula que liga produto escalar, normas e cosseno do ângulo \theta entre os vetores:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = \|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\,\cos\theta.
Desse modo,
\cos\theta = \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|}.
Substituindo os valores que encontramos:
\cos\theta = \frac{9}{5\cdot 5} = \frac{9}{25}.

Passo 8

Interpretação final: \cos\theta = \dfrac{9}{25} é positivo, ou seja, o ângulo entre os vetores é agudo. Entre as alternativas dadas, isso corresponde à letra (C).

Resposta

(C) \dfrac{9}{25}

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