É possível encontrar, em:
\mathbb{R}^{n}, n+1 vetores LI?

Passo 1

O enunciado pergunta se é possível encontrar em \mathbb{R}^n um conjunto de n+1 vetores linearmente independentes. O conteúdo envolve o conceito de dimensão de um espaço vetorial e a definição de independência linear.

Passo 2

Lembrando que um conjunto de vetores \{v_1,\dots,v_k\}\subset\mathbb{R}^n é linearmente independente se a única combinação
\alpha_1v_1 + \alpha_2v_2 + \cdots + \alpha_kv_k = 0
que dá o vetor zero é aquela em que \alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_k=0. Por definição, a dimensão de \mathbb{R}^n é n, ou seja, existe uma base com exatamente n vetores e não há base com mais de n vetores.

Passo 3

Um teorema fundamental de espaços vetoriais diz que em um espaço de dimensão n todo conjunto com mais de n vetores é necessariamente linearmente dependente. Como qualquer base de \mathbb{R}^n tem n vetores, não há como acomodar n+1 vetores mantidos independentes — ao acrescentar o (n+1)-ésimo vetor, ele ficará forçosamente como combinação linear dos n primeiros.

Resposta

Não. Em \mathbb{R}^n qualquer conjunto com mais de n vetores é linearmente dependente, logo não existe n+1 vetores linearmente independentes.

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