Seja a>0 e seja \boldsymbol{\lambda}:[0,2 \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{2} \mathrm{o} arco de cicloide \boldsymbol{\lambda}(t)=(a(t-\operatorname{sen} t), a(1-\cos t)). Calcular a integral de linha
\int_{\boldsymbol{\lambda}} d x-d y

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
\int_{\boldsymbol{\lambda}} d x-d y
onde a>0 e a arco de cicloide \boldsymbol{\lambda}:[0,2\pi]\to\mathbb{R}^2 é dada por
\boldsymbol{\lambda}(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr)=\bigl(a(t-\sin t),\;a(1-\cos t)\bigr),
com parâmetro t variando em [0,2\pi].
Informações relevantes do enunciado:
  • A curva está totalmente parametrizada por \boldsymbol{\lambda}(t) para t\in[0,2\pi].
  • Queremos integrar a forma diferencial d x-d y ao longo dessa curva.
  • Não há necessidade de nenhuma informação adicional.

Passo 2

Estratégia de resolução (curtinha e direta):
  • Quando uma curva está parametrizada por t, a integral de linha de uma forma diferencial pode ser escrita em termos de t usando d x = x'(t)\,dt e d y = y'(t)\,dt.
  • Então substituímos e integramos em t de 0 a 2\pi.
Antes de aplicar, uma observação conceitual rápida e útil para a prova: a forma diferencial d x-d y é o diferencial exato de x-y, pois d(x-y)=dx-dy. Assim, outra forma rápida seria usar o Teorema Fundamental do Cálculo em curvas (variação de uma função entre extremos), mas aqui vou fazer o cálculo por parametrização e depois mostro a observação como atalho.

Passo 3

Calcular as derivadas das componentes da parametrização (isso é usar derivação componente a componente; regra familiar de derivadas):
x(t)=a(t-\sin t)\quad\Rightarrow\quad x'(t)=a\bigl(1-\cos t\bigr).
y(t)=a(1-\cos t)\quad\Rightarrow\quad y'(t)=a\bigl(\sin t\bigr).
Explicando com calma: a derivada de t em relação a t é 1; a derivada de \sin t é \cos t; a derivada de \cos t é -\sin t, por isso aparece \sin t em y'(t) com sinal positivo (havia um menos em 1-\cos t).

Passo 4

Escrever a integral de linha em termos de t usando dx=x'(t)\,dt e dy=y'(t)\,dt:
\int_{\boldsymbol{\lambda}} dx-dy=\int_{0}^{2\pi}\bigl(x'(t)-y'(t)\bigr)\,dt.
Substituindo x'(t) e y'(t) obtidos no passo anterior:
\int_{0}^{2\pi}\bigl(a(1-\cos t)-a\sin t\bigr)\,dt.
Fatorando a que é constante:
a\int_{0}^{2\pi}\bigl(1-\cos t-\sin t\bigr)\,dt.

Passo 5

Calcular as integrais separadamente (elementar):
  • \displaystyle \int_{0}^{2\pi}1\,dt = 2\pi.
  • \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\cos t\,dt = \bigl[\sin t\bigr]_{0}^{2\pi} = \sin(2\pi)-\sin(0)=0.
  • \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\sin t\,dt = \bigl[-\cos t\bigr]_{0}^{2\pi} = -\cos(2\pi)+\cos(0)= -1+1=0.
Colocando tudo junto:
a\bigl(2\pi-0-0\bigr).

Passo 6

Atalho elegante (interpretação conceptual):
  • Como mencionei no Passo 2, d x-d y=d(x-y). A integral de uma diferencial exata ao longo de uma curva parametrizada de t_0 a t_1 é simplesmente a variação da função entre os extremos:
\int_{\boldsymbol{\lambda}}d(x-y)=(x-y)\bigl(\boldsymbol{\lambda}(2\pi)\bigr)-(x-y)\bigl(\boldsymbol{\lambda}(0)\bigr).
  • Avaliando x-y nos pontos inicial e final: pegou-se \boldsymbol{\lambda}(0)=(0,0) e \boldsymbol{\lambda}(2\pi)=(a(2\pi),0). Portanto a variação é a(2\pi)-0, o que coincide com o resultado que obtivemos pela parametrização direta.

Passo 7

Resumo da conta: a integral reduz-se a a vezes 2\pi, conforme os cálculos explicitados acima.

Resposta

2\pi a

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