Seja
e seja
arco de cicloide
. Calcular a integral de linha
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha
onde
e a arco de cicloide
é dada por
com parâmetro
variando em
.
Informações relevantes do enunciado:
- A curva está totalmente parametrizada por
para . - Queremos integrar a forma diferencial
ao longo dessa curva. - Não há necessidade de nenhuma informação adicional.
Passo 2
Estratégia de resolução (curtinha e direta):
- Quando uma curva está parametrizada por
, a integral de linha de uma forma diferencial pode ser escrita em termos de usando e . - Então substituímos e integramos em
de a .
Antes de aplicar, uma observação conceitual rápida e útil para a prova: a forma diferencial
é o diferencial exato de
, pois
. Assim, outra forma rápida seria usar o Teorema Fundamental do Cálculo em curvas (variação de uma função entre extremos), mas aqui vou fazer o cálculo por parametrização e depois mostro a observação como atalho.
Passo 3
Calcular as derivadas das componentes da parametrização (isso é usar derivação componente a componente; regra familiar de derivadas):
Explicando com calma: a derivada de
em relação a
é
; a derivada de
é
; a derivada de
é
, por isso aparece
em
com sinal positivo (havia um menos em
).
Passo 4
Escrever a integral de linha em termos de
usando
e
:
Substituindo
e
obtidos no passo anterior:
Fatorando
que é constante:
Passo 5
Calcular as integrais separadamente (elementar):
Colocando tudo junto:
Passo 6
Atalho elegante (interpretação conceptual):
- Como mencionei no Passo 2,
. A integral de uma diferencial exata ao longo de uma curva parametrizada de a é simplesmente a variação da função entre os extremos:
- Avaliando
nos pontos inicial e final: pegou-se e . Portanto a variação é , o que coincide com o resultado que obtivemos pela parametrização direta.
Passo 7
Resumo da conta: a integral reduz-se a
vezes
, conforme os cálculos explicitados acima.