Seja
o caminho cujo traço coincide com o arco da circunferência de centro na origem e raio 3, que inicia no ponto
e termina no ponto
. Calcular a integral de linha
Sugestão:
é uma função potencial do campo vetorial na integral de linha.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações relevantes:
- O caminho
é o arco da circunferência de centro na origem e raio que começa no ponto e termina no ponto . - O campo vetorial a ser integrado tem componentes
- A integral de linha a calcular é
- O enunciado sugere a função
como uma função potencial do campo (ou seja, possivelmente ).
O que o problema pede: calcular o valor numérico da integral de linha ao longo do arco indicado.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado de forma direta): se existe uma função
tal que
em uma região que contenha o arco (aqui o campo é polinomial e definido em toda a reta, então a região é simplesmente conexa), então o campo é conservativo e vale o Teorema Fundamental das Integrais de Linha: para qualquer caminho
ligando um ponto
a um ponto
,
Isso significa que, se
for realmente potencial, não precisamos parametrizar o arco nem integrar termo a termo — basta avaliar
nos pontos final e inicial e subtrair.
Passo 3
Verificar que
é potencial calculando suas derivadas parciais (cada passo de derivação é mostrado):
- Derivada parcial em
: Calculando termo a termo: Portanto - Derivada parcial em
: Calculando termo a termo: Portanto
Concluímos que
, ou seja,
é realmente uma função potencial do campo em toda a região.
Passo 4
Aplicar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha: como o campo é conservativo e o arco está em uma região conectada onde
está definida, temos
Aqui o ponto inicial é
e o ponto final é
. Vamos calcular
e
.
Passo 5
Calcular
no ponto inicial
:
Os três primeiros termos são zero, sobra
Passo 6
Calcular
no ponto final
. Observe que em
vale
. Se
então
Os termos se cancelam:
logo
. Assim,
Passo 7
Subtrair para obter o valor da integral: