Seja \boldsymbol{\lambda} o caminho cujo traço coincide com o arco da circunferência de centro na origem e raio 3, que inicia no ponto (0,-3) e termina no ponto \left(\frac{3 \sqrt{2}}{2}, \frac{3 \sqrt{2}}{2}\right). Calcular a integral de linha
\int_{\boldsymbol{\lambda}}\left(x^{2}+2 x y-y^{2}\right) d x+\left(x^{2}-2 x y-y^{2}\right) d y
Sugestão: f(x, y)=\frac{1}{3} x^{3}+x^{2} y-x y^{2}-\frac{1}{3} y^{3} é uma função potencial do campo vetorial na integral de linha.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações relevantes:
  • O caminho \boldsymbol{\lambda} é o arco da circunferência de centro na origem e raio 3 que começa no ponto \left(0,-3\right) e termina no ponto \left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2},\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right).
  • O campo vetorial a ser integrado tem componentes P(x,y)=x^{2}+2xy-y^{2},\qquad Q(x,y)=x^{2}-2xy-y^{2}.
  • A integral de linha a calcular é \int_{\boldsymbol{\lambda}} P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy.
  • O enunciado sugere a função f(x,y)=\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}y-xy^{2}-\frac{1}{3}y^{3}como uma função potencial do campo (ou seja, possivelmente \nabla f=(P,Q)).
O que o problema pede: calcular o valor numérico da integral de linha ao longo do arco indicado.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado de forma direta): se existe uma função f(x,y) tal que
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=P(x,y)\quad\text{e}\quad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=Q(x,y)
em uma região que contenha o arco (aqui o campo é polinomial e definido em toda a reta, então a região é simplesmente conexa), então o campo é conservativo e vale o Teorema Fundamental das Integrais de Linha: para qualquer caminho \gamma ligando um ponto A a um ponto B,
\int_{\gamma}P\,dx+Q\,dy=f(B)-f(A).
Isso significa que, se f for realmente potencial, não precisamos parametrizar o arco nem integrar termo a termo — basta avaliar f nos pontos final e inicial e subtrair.

Passo 3

Verificar que f é potencial calculando suas derivadas parciais (cada passo de derivação é mostrado):
  • Derivada parcial em x: \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{1}{3}x^{3}\right) +\frac{\partial}{\partial x}\!\left(x^{2}y\right) -\frac{\partial}{\partial x}\!\left(xy^{2}\right) -\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{1}{3}y^{3}\right).Calculando termo a termo: \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{1}{3}x^{3}\right)=x^{2},\qquad \frac{\partial}{\partial x}\!\left(x^{2}y\right)=2xy,\qquad \frac{\partial}{\partial x}\!\left(xy^{2}\right)=y^{2},\qquad \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{1}{3}y^{3}\right)=0.Portanto \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=x^{2}+2xy-y^{2}=P(x,y).
  • Derivada parcial em y: \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{1}{3}x^{3}\right) +\frac{\partial}{\partial y}\!\left(x^{2}y\right) -\frac{\partial}{\partial y}\!\left(xy^{2}\right) -\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{1}{3}y^{3}\right).Calculando termo a termo: \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{1}{3}x^{3}\right)=0,\qquad \frac{\partial}{\partial y}\!\left(x^{2}y\right)=x^{2},\qquad \frac{\partial}{\partial y}\!\left(xy^{2}\right)=2xy,\qquad \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{1}{3}y^{3}\right)=y^{2}.Portanto \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x^{2}-2xy-y^{2}=Q(x,y).
Concluímos que \nabla f=(P,Q), ou seja, f é realmente uma função potencial do campo em toda a região.

Passo 4

Aplicar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha: como o campo é conservativo e o arco está em uma região conectada onde f está definida, temos
\int_{\boldsymbol{\lambda}}P\,dx+Q\,dy=f\!\left(\text{ponto final}\right)-f\!\left(\text{ponto inicial}\right).
Aqui o ponto inicial é A=\left(0,-3\right) e o ponto final é B=\left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2},\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right). Vamos calcular f(B) e f(A).

Passo 5

Calcular f no ponto inicial A=\left(0,-3\right):
f(0,-3)=\frac{1}{3}\cdot 0^{3}+0^{2}\cdot(-3)-0\cdot(-3)^{2}-\frac{1}{3}(-3)^{3}.
Os três primeiros termos são zero, sobra
f(0,-3)=-\frac{1}{3}(-27)=9.

Passo 6

Calcular f no ponto final B=\left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2},\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right). Observe que em B vale x=y. Se x=y então
f(x,x)=\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}x-x x^{2}-\frac{1}{3}x^{3}.
Os termos se cancelam:
\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{3}x^{3}=0,\qquad x^{2}x- x x^{2}=0,
logo f(x,x)=0. Assim,
f\!\left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2},\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)=0.

Passo 7

Subtrair para obter o valor da integral:
\int_{\boldsymbol{\lambda}}P\,dx+Q\,dy=f(B)-f(A)=0-9=-9.

Resposta

-9

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