Seja
o campo vetorial
. Demonstre que F é um campo conservativo.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
O que é pedido: demonstrar que
é um campo conservativo (isto é, existe uma função escalar
tal que
).
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- O campo está definido em todo
(domínio global). - Temos as componentes explícitas de
, que vou chamar de onde
Passo 2
O que significa provar que um campo vetorial é conservativo? Vou explicar de forma direta e prática:
- Um campo
é conservativo se existe com Essa é chamada função potencial. - Uma ferramenta muito útil: se o domínio é simplesmente conectado (como é o caso de
) e é continuamente diferenciável, então é conservativo se, e somente se, o rotacional (curl) de for o vetor nulo: Vou usar essa condição porque é prática: calcular o rotacional e verificar que ele é zero. - Fórmula do rotacional para
:
Vou calcular cada termo desse vetor e verificar se todos são zero. Se der zero, como o domínio é
(simplesmente conectado), concluímos que
é conservativo. Depois, para ajudar na prova e na intuição, vou construir explicitamente uma função potencial
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias (vou mostrar cada passo):
- Primeiro, repito as componentes para referência:
- Calcular
: porque e são tratados como constantes e a derivada de em relação a é . - Calcular
: - Portanto a primeira componente do rotacional é
- Calcular
: - Calcular
: pois a derivada de em relação a é e o fator permanece. - Então a segunda componente do rotacional é
- Calcular
: - Calcular
: - Então a terceira componente do rotacional é
- Conclusão do cálculo do rotacional:
Passo 4
Interpretação do resultado e construção da função potencial:
- Como
e o domínio é (simplesmente conectado), segue que é conservativo. Mas vamos também construir uma função potencial explicitamente (isso ajuda muito na prova e na prova prática na prova!). - Procuramos
tal que Integrando essa igualdade em relação a (tratando como constantes): onde é uma “constante” de integração que pode depender de e . - Agora imposto que
. Calculo a partir da expressão acima: Igualando a obtemos Logo não depende de : para alguma função . - Finalmente imposto
. Calculo : Igualando a dá portanto é constante. Chamo essa constante de . - Assim uma função potencial é
- Verificação direta rápida: calcular
dá exatamente , então está tudo consistente.