Seja \mathbf{F}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} o campo vetorial \mathbf{F}(x, y, z)=\left(e^{y+2 z}, x e^{y+2 z}, 2 x e^{y+2 z}\right). Demonstre que F é um campo conservativo.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \mathbf{F}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3
\mathbf{F}(x,y,z)=\bigl(e^{y+2z},\; x e^{y+2z},\; 2x e^{y+2z}\bigr).
O que é pedido: demonstrar que \mathbf{F} é um campo conservativo (isto é, existe uma função escalar \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}).
Informações relevantes que temos:
  • O campo está definido em todo \mathbb{R}^3 (domínio global).
  • Temos as componentes explícitas de \mathbf{F}, que vou chamar de P,Q,R onde P(x,y,z)=e^{y+2z},\qquad Q(x,y,z)=x e^{y+2z},\qquad R(x,y,z)=2x e^{y+2z}.

Passo 2

O que significa provar que um campo vetorial é conservativo? Vou explicar de forma direta e prática:
  • Um campo \mathbf{F}=(P,Q,R) é conservativo se existe \varphi(x,y,z) com \nabla\varphi=\Bigl(\frac{\partial\varphi}{\partial x},\frac{\partial\varphi}{\partial y},\frac{\partial\varphi}{\partial z}\Bigr)= (P,Q,R).Essa \varphi é chamada função potencial.
  • Uma ferramenta muito útil: se o domínio é simplesmente conectado (como é o caso de \mathbb{R}^3) e \mathbf{F} é continuamente diferenciável, então \mathbf{F} é conservativo se, e somente se, o rotacional (curl) de \mathbf{F} for o vetor nulo: \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}.Vou usar essa condição porque é prática: calcular o rotacional e verificar que ele é zero.
  • Fórmula do rotacional para \mathbf{F}=(P,Q,R): \nabla\times\mathbf{F}=\Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr).
Vou calcular cada termo desse vetor e verificar se todos são zero. Se der zero, como o domínio é \mathbb{R}^3 (simplesmente conectado), concluímos que \mathbf{F} é conservativo. Depois, para ajudar na prova e na intuição, vou construir explicitamente uma função potencial \varphi.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias (vou mostrar cada passo):
  • Primeiro, repito as componentes para referência: P=e^{y+2z},\qquad Q=x e^{y+2z},\qquad R=2x e^{y+2z}.
  • Calcular \dfrac{\partial R}{\partial y}: \frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x e^{y+2z}\bigr)=2x e^{y+2z},porque x e z são tratados como constantes e a derivada de e^{y+2z} em relação a y é e^{y+2z}.
  • Calcular \dfrac{\partial Q}{\partial z}: \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x e^{y+2z}\bigr)=x\cdot 2 e^{y+2z}=2x e^{y+2z}.
  • Portanto a primeira componente do rotacional é \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=2x e^{y+2z}-2x e^{y+2z}=0.
  • Calcular \dfrac{\partial P}{\partial z}: \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(e^{y+2z}\bigr)=2 e^{y+2z}.
  • Calcular \dfrac{\partial R}{\partial x}: \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x e^{y+2z}\bigr)=2 e^{y+2z},pois a derivada de 2x em relação a x é 2 e o fator e^{y+2z} permanece.
  • Então a segunda componente do rotacional é \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=2 e^{y+2z}-2 e^{y+2z}=0.
  • Calcular \dfrac{\partial Q}{\partial x}: \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x e^{y+2z}\bigr)=e^{y+2z}.
  • Calcular \dfrac{\partial P}{\partial y}: \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{y+2z}\bigr)=e^{y+2z}.
  • Então a terceira componente do rotacional é \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=e^{y+2z}-e^{y+2z}=0.
  • Conclusão do cálculo do rotacional: \nabla\times\mathbf{F}=(0,0,0).

Passo 4

Interpretação do resultado e construção da função potencial:
  • Como \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} e o domínio é \mathbb{R}^3 (simplesmente conectado), segue que \mathbf{F} é conservativo. Mas vamos também construir uma função potencial explicitamente (isso ajuda muito na prova e na prova prática na prova!).
  • Procuramos \varphi tal que \frac{\partial\varphi}{\partial x}=P=e^{y+2z}.Integrando essa igualdade em relação a x (tratando y,z como constantes): \varphi(x,y,z)=\int e^{y+2z}\,dx = x e^{y+2z} + g(y,z),onde g(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender de y e z.
  • Agora imposto que \dfrac{\partial\varphi}{\partial y}=Q. Calculo \dfrac{\partial\varphi}{\partial y} a partir da expressão acima: \frac{\partial\varphi}{\partial y}=x e^{y+2z} + \frac{\partial g}{\partial y}.Igualando a Q=x e^{y+2z} obtemos x e^{y+2z} + \frac{\partial g}{\partial y}=x e^{y+2z}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial y}=0.Logo g não depende de y: g(y,z)=h(z) para alguma função h.
  • Finalmente imposto \dfrac{\partial\varphi}{\partial z}=R. Calculo \dfrac{\partial\varphi}{\partial z}: \frac{\partial\varphi}{\partial z}=2x e^{y+2z} + h'(z).Igualando a R=2x e^{y+2z} 2x e^{y+2z} + h'(z)=2x e^{y+2z}\quad\Rightarrow\quad h'(z)=0,portanto h é constante. Chamo essa constante de C.
  • Assim uma função potencial é \varphi(x,y,z)=x e^{y+2z} + C.
  • Verificação direta rápida: calcular \nabla\varphi dá exatamente (e^{y+2z}, x e^{y+2z}, 2x e^{y+2z})=\mathbf{F}, então está tudo consistente.

Resposta

\mathbf{F} é conservativo. Uma função potencial é \varphi(x,y,z)=x e^{y+2z}+C (com C constante).

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