Sejam
e
, e seja
é um caminho seccionalmente de classe
tal que traço
. Se ( 1,0 ) é o ponto inical de
e (
) seu ponto final, calcular os valores de
tal que
Sugestão:
é uma função potencial do campo vetorial na integral de linha.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Domínio:
. - Temos um caminho
com traço contido em , de classe seccionalmente . - Ponto inicial de
: . - Ponto final de
: , e sabemos que (isto é, , logo a condição sobre está satisfeita para qualquer ). - A integral de linha pedida é
e é dada que esse valor deve ser
.
O que o problema pede: encontrar todos os valores de
tais que a integral acima, calculada ao longo de qualquer caminho
com começo em
e fim em
(e traço em
), seja igual a
.
Passo 2
Identificar e verificar que o campo de integração é gradiente de uma função potencial.
- A sugestão diz que
é potencial do campo. Vamos verificar isso calculando o gradiente de .
Calculemos as derivadas parciais de
. Defina
. Então
As derivadas parciais valem
Logo
que é exatamente o campo vetorial presente no integrando (pois
corresponde ao produto escalar
). Portanto o campo é conservativo e
é uma função potencial nele.
- Observação sobre o domínio:
é diferenciável em todos os pontos em que . Nosso domínio tem , portanto não contém a origem, e é conexo; assim é em e o teorema fundamental das integrais de linha para campos conservativos vale sem problema.
Passo 3
Aplicar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha (TFIL) para campos conservativos.
- O TFIL afirma: se
é contínuo em um domínio conectado e é qualquer curva suave de ponto a com traço nesse domínio, então
- No nosso caso
com , o ponto inicial é e o final é . Portanto a integral não depende do caminho e é simplesmente
Passo 4
Calcular a diferença das potenciais e igualar a
.
- Calcule
e :
- Pelo TFIL,
O enunciado exige que essa integral valha
. Portanto imponha
Passo 5
Resolver a equação para
passo a passo (sem pular etapas).
- Isolar a raiz:
- Elevar ambos os lados ao quadrado (isto é permitido aqui porque ambos os lados são não negativos):
- Subtrair
dos dois lados:
- Tirar raiz quadrada (isto produz duas soluções, positiva e negativa):
Passo 6
Verificar que as soluções atendem às hipóteses do problema.
- Para
o ponto final é com , então como exigido. - O campo e a potencial são
em e o caminho tem traço em , logo o uso do TFIL foi legítimo. Não há outra restrição que elimine uma das raízes, portanto ambas são aceitáveis.