Sejam U=\{(x, y) \mid x>0\} e (2, b) \in U, e seja \boldsymbol{\lambda} é um caminho seccionalmente de classe \mathscr{C}^{1} tal que traço (\boldsymbol{\lambda}) \subset U. Se ( 1,0 ) é o ponto inical de \boldsymbol{\lambda} e ( 2, b ) seu ponto final, calcular os valores de b tal que
\int_{\boldsymbol{\lambda}} \frac{x d x+y d y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=3
Sugestão: f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} é uma função potencial do campo vetorial na integral de linha.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Domínio: U=\{(x,y)\mid x>0\}.
  • Temos um caminho \boldsymbol{\lambda} com traço contido em U, de classe seccionalmente \mathscr{C}^{1}.
  • Ponto inicial de \boldsymbol{\lambda}: (1,0).
  • Ponto final de \boldsymbol{\lambda}: (2,b), e sabemos que (2,b)\in U (isto é, 2>0, logo a condição sobre x está satisfeita para qualquer b).
  • A integral de linha pedida é
\int_{\boldsymbol{\lambda}} \frac{x\,dx+y\,dy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
e é dada que esse valor deve ser 3.
O que o problema pede: encontrar todos os valores de b tais que a integral acima, calculada ao longo de qualquer caminho \boldsymbol{\lambda} com começo em (1,0) e fim em (2,b) (e traço em U), seja igual a 3.

Passo 2

Identificar e verificar que o campo de integração é gradiente de uma função potencial.
  • A sugestão diz que f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} é potencial do campo. Vamos verificar isso calculando o gradiente de f.
Calculemos as derivadas parciais de f. Defina \;r(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;. Então
f(x,y)=r(x,y).
As derivadas parciais valem
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{x}{r(x,y)}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{y}{r(x,y)}.
Logo
\nabla f(x,y)=\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\;\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right),
que é exatamente o campo vetorial presente no integrando (pois x\,dx+y\,dy corresponde ao produto escalar \nabla f\cdot d\mathbf{r}). Portanto o campo é conservativo e f é uma função potencial nele.
  • Observação sobre o domínio: f é diferenciável em todos os pontos em que (x,y)\neq(0,0). Nosso domínio U tem x>0, portanto não contém a origem, e é conexo; assim f é C^{1} em U e o teorema fundamental das integrais de linha para campos conservativos vale sem problema.

Passo 3

Aplicar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha (TFIL) para campos conservativos.
  • O TFIL afirma: se \mathbf{F}=\nabla f é contínuo em um domínio conectado e \boldsymbol{\lambda} é qualquer curva suave de ponto A a B com traço nesse domínio, então
\int_{\boldsymbol{\lambda}} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=f(B)-f(A).
  • No nosso caso \mathbf{F}=\nabla f com f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, o ponto inicial é A=(1,0) e o final é B=(2,b). Portanto a integral não depende do caminho e é simplesmente
\int_{\boldsymbol{\lambda}} \frac{x\,dx+y\,dy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=f(2,b)-f(1,0).

Passo 4

Calcular a diferença das potenciais e igualar a 3.
  • Calcule f(1,0) e f(2,b):
f(1,0)=\sqrt{1^{2}+0^{2}}=1, \qquad f(2,b)=\sqrt{2^{2}+b^{2}}=\sqrt{4+b^{2}}.
  • Pelo TFIL,
\int_{\boldsymbol{\lambda}} \frac{x\,dx+y\,dy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}= \sqrt{4+b^{2}} - 1.
O enunciado exige que essa integral valha 3. Portanto imponha
\sqrt{4+b^{2}} - 1 = 3.

Passo 5

Resolver a equação para b passo a passo (sem pular etapas).
  • Isolar a raiz:
\sqrt{4+b^{2}}=4.
  • Elevar ambos os lados ao quadrado (isto é permitido aqui porque ambos os lados são não negativos):
4+b^{2}=16.
  • Subtrair 4 dos dois lados:
b^{2}=12.
  • Tirar raiz quadrada (isto produz duas soluções, positiva e negativa):
b=\pm\sqrt{12}=\pm 2\sqrt{3}.

Passo 6

Verificar que as soluções atendem às hipóteses do problema.
  • Para b=\pm 2\sqrt{3} o ponto final é (2,b) com x=2>0, então (2,b)\in U como exigido.
  • O campo e a potencial são C^{1} em U e o caminho tem traço em U, logo o uso do TFIL foi legítimo. Não há outra restrição que elimine uma das raízes, portanto ambas são aceitáveis.

Resposta

b=2\sqrt{3}
b=-2\sqrt{3}

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